Question

【題目】在正方形ABCD中，動點E，F分別從D，C兩點同時出發，以相同的速度在直線DC，CB上移動.

（1）如圖1，當點E在邊DC上自D向C移動，同時點F在邊CB上自C向B移動時，連接AE和DF交于點P，請你寫出AE與DF的數量關系和位置關系，并說明理；

（2）如圖2，當E，F分別在邊CD，BC的延長線上移動時，連接AE，DF，（1）中的結論還成立嗎？（請你直接回答“是”或“否”，不需證明）；連接AC，求△ACE為等腰三角形時CE：CD的值；

（3）如圖3，當E，F分別在直線DC，CB上移動時，連接AE和DF交于點P，由于點E，F的移動，使得點P也隨之運動，請你畫出點P運動路徑的草圖.若AD=2，試求出線段CP的最大值.

圖1 圖2 圖3

Answer 1

【答案】（1）AE=DF，AE⊥DF，理由見解析；（2）成立，CE:CD=或2；（3）

【解析】試題分析：（1）根據正方形的性質，由SAS先證得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性質得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；

（2）有兩種情況：①當AC=CE時，設正方形ABCD的邊長為a，由勾股定理求出AC=CE=a即可；②當AE=AC時，設正方形的邊長為a，由勾股定理求出AC=AE=a，根據正方形的性質知∠ADC=90°，然后根據等腰三角形的性質得出DE=CD=a即可；

（3）由（1）（2）知：點P的路徑是一段以AD為直徑的圓，設AD的中點為Q，連接QC交弧于點P，此時CP的長度最大，再由勾股定理可得QC的長，再求CP即可．

試題解析：（1）AE=DF，AE⊥DF，

理由是：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，

∵動點E，F分別從D，C兩點同時出發，以相同的速度在直線DC，CB上移動，

∴DE=CF，

在△ADE和△DCF中

，

∴，

∴AE=DF，∠DAE=∠FDC，

∵∠ADE=90°，∴∠ADP+∠CDF=90°，

∴∠ADP+∠DAE=90°，

∴∠APD=180°-90°=90°，

∴AE⊥DF；

（2）（1）中的結論還成立，

有兩種情況：

①如圖1，當AC=CE時，

設正方形ABCD的邊長為a，由勾股定理得，

，

則；

②如圖2，當AE=AC時，

設正方形ABCD的邊長為a，由勾股定理得：

，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADC=90°，即AD⊥CE，

∴DE=CD=a，

∴CE:CD=2a:a=2；

即CE:CD=或2；

（3）∵點P在運動中保持∠APD=90°，

∴點P的路徑是以AD為直徑的圓，

如圖3，設AD的中點為Q，連接CQ并延長交圓弧于點P，

此時CP的長度最大，

∵在Rt△QDC中，

∴，

即線段CP的最大值是.