Question

【題目】（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經過點C，AD⊥MN于點D，BE⊥MN于點E，當直線MN旋轉到圖1的位置時，求證：DE＝AD+BE；

（2）在（1）的條件下，當直線MN旋轉到圖2的位置時，猜想線段AD，DE，BE的數量關系，并證明你的猜想；

（3）如圖3，在△ABC中，AD⊥BC于D，AD＝BC，BF⊥BC于B，BF＝CD，CE⊥BC于C，CE＝BD，求證：∠EAF+∠BAC＝90°．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DE＝AD﹣BE，證明見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）由已知條件可推出∠ACD＝∠CBE，繼而可證明△ADC≌△CEB，利用全等三角形的性質可證明結論；

（2）與（1）證法類似，可推出∠ACD＝∠CBE，證明△ADC≌△CEB，得出AD＝CE，DC＝BE，繼而得出結論；

（3）連接CF、BE，可證明△ADC≌△CBF，進一步推出△ACF為等腰直角三角形，同理可推出△ABE為等腰直角三角形，從而可得出結論．

解：（1）證明：∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD+∠BCE＝90°，

而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

∴∠ADC＝∠CEB＝90°，

∴∠BCE+∠CBE＝90°，

∴∠ACD＝∠CBE，

在△ADC和△CEB中， ，

∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴AD＝CE，DC＝BE，

∴DE＝DC+CE＝BE+AD；

（2）DE＝AD﹣BE，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD+∠BCE＝90°，

而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

∴∠ADC＝∠CEB＝90°，

∴∠BCE+∠CBE＝90°，

∴∠ACD＝∠CBE，

在△ADC和△CEB中，，

∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴AD＝CE，DC＝BE，

∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；

（3）如圖3，連接CF、BE，

AD⊥BC于D，BF⊥BC于B，

∴∠ADC＝∠CBF＝90°，

在△ADC和△CBF中， ，

∵△ADC≌△CBF（SAS），

∴∠CAD＝∠FCB，AC＝CF；

∴∠ACF＝∠FCB+∠ACD＝∠CAD+∠ACD＝∠ADC＝90°

∴△ACF為等腰直角三角形．

∴∠CAF＝45°，

同理：△ABE為等腰直角三角形．

∴∠EAB＝45°，

∴∠EAF+∠BAC＝∠CAF+∠EAB＝90°．