Question

【題目】如圖一，矩形ABCD中，AB=m，BC=n，將此矩形繞點B順時針方向旋轉θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A1BC1D1，點A1在邊CD上．

（1）若m=2，n=1，求在旋轉過程中，點D到點D1所經過路徑的長度；

（2）將矩形A1BC1D1繼續繞點B順時針方向旋轉得到矩形A2BC2D2，點D2在BC的延長線上，設邊A2B與CD交于點E，若，求的值．

（3）如圖二，在（2）的條件下，直線AB上有一點P，BP=2，點E是直線DC上一動點，在BE左側作矩形BEFG且始終保持，設AB=，試探究點E移動過程中，PF是否存在最小值，若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）作A1H⊥AB于H，連接BD，BD1，則四邊形ADA1H是矩形．解直角三角形，求出∠ABA1，得到旋轉角即可解決問題；

（2）由△BCE∽△BA2D2，推出，可得CE=，由推出，推出A1C=，推出BH=A1C=，然后由勾股定理建立方程，解方程即可解決問題；

（3）當A、P、F，D，四點共圓，作PF⊥DF，PF與CD相交于點M，作MN⊥AB，此時PF的長度為最小值；先證明△FDG∽△FME，得到，再結合已知條件和解直角三角形求出PM和FM的長度，即可得到PF的最小值.

解：（1）作A1H⊥AB于H，連接BD，BD1，則四邊形ADA1H是矩形．

∴AD=HA1=n=1，

在Rt△A1HB中，∵BA1=BA=m=2，

∴BA1=2HA1，

∴∠ABA1=30°，

∴旋轉角為30°，

∵BD=，

∴D到點D1所經過路徑的長度=；

（2）∵△BCE∽△BA2D2，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴A1C=，

∴BH=A1C=，

∴，

∴m4﹣m2n2=6n4，

∴，

∴（負根已舍去）．

（3）當A、P、F，D，四點共圓，作PF⊥DF，PF與CD相交于點M，作MN⊥AB，此時PF的長度為最小值；

由（2）可知，，

∵四邊形BEFG是矩形，

∴，

∵∠DFG+∠GFM=∠GFM+∠MFE=90°，

∴∠DFG=∠MFE，

∵DF⊥PF，即∠DFM=90°，

∴∠FDM+∠GDM=∠FDM+∠DFM=∠FDM+90°，

∴∠FDG=∠FME，

∴△FDG∽△FME，

∴，

∵∠DFM=90°，，

∴∠FDM=60°，∠FMD=30°，

∴；

在矩形ABCD中，有，

即，則，

∵MN⊥AB，

∴四邊形ANMD是矩形，

∴MN=AD=3，

∵∠NPM=∠DMF=30°，

∴PM=2MN=6，

∴NP=，

∴DM=AN=BP=2，

∴，

∴；