Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD是矩形，延長AB至點F，連結CF，使得CF=AF，過點A作AE⊥FC于點E．
（1）求證：AD=AE．
（2）連結CA，若∠DCA=70°，求∠CAE的度數．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AC，如圖所示：

∵CF=AF，∴∠FCA=∠CAF，

∵四邊形ABCD是矩形，∴DC∥AB∴，∠DCA=∠CAF，

∴∠FCA=∠DCA，

∵AE⊥FC，

∴∠CEA=90°，

∴∠CDA=∠CEA=90°，

在△ADC和△CAE 中， ，

∴△ADC≌△CAE （AAS），

∴AD=AE；

（2）解：∵△ADC≌△CAE，

∴∠CAE=∠CAD，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠D=90°，

∴∠CAD=90°﹣∠DCA=90°﹣70°=20°，

∴∠CAE=20°．

【解析】（1）由等腰三角形的性質和矩形的性質證出∠FCA=∠DCA，由AAS證明△ADC≌△CAE，即可得出結論；（2）由全等三角形的性質得出∠CAE=∠CAD，求出∠CAD=90°﹣∠DCA=20°，即可得出答案．
【考點精析】認真審題，首先需要了解矩形的性質(矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等)．