Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，過外一點引它的兩條切線，切點分別為，，若，則稱為的環繞點．

（1）當半徑為1時，

①在，，中，的環繞點是_______________；

②直線與軸交于點，軸交于點，若線段上存在的環繞點，求的取值范圍；

（2）的半徑為1，圓心為，以為圓心，為半徑的所有圓構成圖形，若在圖形上存在的環繞點，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①P1，P3；②或；（2）-2＜t≤4

【解析】

（1）①如圖，PM，PN是⊙T的兩條切線，M，N為切點，連接TM，TN．當∠MPN=60°時，可證TP=2TM，以T為圓心，TP為半徑作⊙T，首先說明：當60°≤∠MPN＜180°時，⊙T的環繞點在圖中的圓環內部（包括大圓設的點不包括小圓上的點）．利用這個結論解決問題即可．

②如圖2中，設小圓交y軸的正半軸與于E．求出兩種特殊位置b的值，結合圖形根據對稱性解決問題即可．

（2）如圖3中，不妨設E（m，m），則點E在直線y=x上，以E（m，m）（m＞0）為圓心，m為半徑的⊙E與x軸相切，作⊙E的切線ON，觀察圖象可知，以E（m，m）（m＞0）為圓心，m為半徑的所有圓構成圖形H，圖形H即為∠MON的內部，包括射線OM，ON上．利用（1）中結論，畫出圓環，當圓環與∠MON的內部有交點時，滿足條件，求出兩種特殊位置t的值即可解決問題．

（1）①如圖，PM，PN是⊙T的兩條切線，M，N為切點，連接TM，TN．

當∠MPN=60°時，∵PT平分∠MPN，

∵∠TPM=∠TPN=30°，

∵TM⊥PM，TN⊥PN，

∴∠PMT=∠PNT=90°，

∴TP=2TM，

以T為圓心，TP為半徑作⊙T，

觀察圖象可知：當60°≤∠MPN＜180°時，⊙T的環繞點在圖中的圓環內部（包括大圓上的點不包括小圓上的點）．

如圖中，以O為圓心2為半徑作⊙O，觀察圖象可知，P1，P3是⊙O的環繞點，

故答案為P1，P3．

②如圖，設小圓交y軸的正半軸與于E．

當直線經過點E時，b=1．

當直線與大圓相切于K（在第二象限）時，連接OK，

由題意B（0，b），A（-2b，0），

∴OB=b，OA=2b，，

∵OK=2，ABOK=OAOB，

∴，

解得，

觀察圖象可知，當時，線段AB上存在⊙O的環繞點，

根據對稱性可知：當時，線段AB上存在⊙O的環繞點，

綜上所述，滿足條件的b的值為或；

（2）如圖3中，不妨設E（m，m），則點E在直線y=x上，

∵m＞0，

∴點E在射線OE上運動，作EM⊥x軸，

∵E（m，m），

∴OM=m，EM=，

∴以E（m，m）（m＞0）為圓心，m為半徑的⊙E與x軸相切，作⊙E的切線ON，觀察圖象可知，以E（m，m）（m＞0）為圓心，m為半徑的所有圓構成圖形H，圖形H即為∠MON的內部，包括射線OM，ON上．

當⊙T的圓心在y軸的正半軸上時，假設以T為圓心，2為半徑的圓與射線ON相切于D，連接TD．

∵，

∴∠EOM=30°，

∵ON，OM是⊙E的切線，

∴∠EON=∠EOM=30°，

∴∠TOD=30°，

∴OT=2DT=4，

∴T（0，4），

當⊙T的圓心在y軸的負半軸上時，且經過點O（0，0）時，T（0，-2），

觀察圖象可知，當-2＜t≤4時，在圖形H上存在⊙T的環繞點．