Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線分別與x軸，y軸交于點，點C是第一象限內的一點，且，拋物線經過兩點，與x軸的另一交點為D．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）判斷直線與的位置關系，并證明你的結論；

（3）點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以四點構成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）二次函數的解析式為；（2）AB∥CD，證明見解析；（3）點N的坐標分別為（，1），（，1），（，-1），（-1）．

【解析】

（1）求得點C的坐標，應用待定系數法即可求得拋物線的解析式．

（2）根據勾股定理求出AC，CD，AD的長，從而根據勾股定理逆定理得到△ACD為直角三角形，∠ACD=90°，由∠BAC=90°，得出AB∥CD．

（3）由題意可知，要使得以A,B,M,N四點構成的四邊形為平行四邊形，只需要點N到x軸的距離與點B到x軸的距離相等．據此列出方程求解即可．

解：（1）由題意可求點A(2，0)，點B（0,1）．

過點C作CE⊥x軸，易證△AOB≌△ECA．

∴ OA=CE=2，OB=AE=1．

∴ 點C的坐標為（3,2）．

將點A(2，0)，點C(3，2)代入，

得，，解得．

∴二次函數的解析式為．

（2）AB∥CD．證明如下：

令，解得．

∴ D點坐標為（7,0）．

可求．

∴△ACD為直角三角形，∠ACD=90°．

又∵∠BAC=90°，

∴ AB∥CD．

（3）如圖，由題意可知，要使得以A,B,M,N四點構成的四邊形為平行四邊形，只需要點N到x軸的距離與點B到x軸的距離相等．

∵ B點坐標為（0,1），

∴ 點N到x軸的距離等于1．

可得和．

解這兩個方程得．

∴點N的坐標分別為（，1），（，1），（，-1），（，-1）．