Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c的圖象經過點C，交x軸于點A（﹣1，0）、B（4，0）（A點在B點左側），頂點為D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）將△ABC沿直線BC對折，點A的對稱點為A′，試求A′的坐標；

（3）拋物線的對稱軸上是否存在點P，使∠BPC＝∠BAC？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）A'（1，4）；（3）存在，點P的坐標為（，﹣）或（，2+）．

【解析】

（1）先判斷出拋物線的二次項系數，再根據交點式，即可得出結論；

（2）先判斷出∠ACB＝90°，進而得出AA'的中點恰好是點C，利用中點坐標公式即可得出結論；

（3）分點P在直線BC下方和上方，判斷出點P在△ABC（或△A'BC的外接圓上，求出此圓的半徑和圓心O'的坐標，即可得出結論．

解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c交x軸于點A（﹣1，0）、B（4，0），

∴拋物線的解析式為y＝﹣（x+1）（x﹣4）＝﹣x2+x+2，

（2）如圖，

由（1）知，拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2，

則點C（0，2），

∵B（4，0），A（﹣1，0），

∴OA＝1，OB＝4，

∴＝＝，

∵∠AOC＝∠COB＝90°，

∴△AOC∽△COB，

∴∠ACO＝∠CBO，

∵∠OCB+∠OBC＝90°，

∴∠ACO+∠OCB＝90°，

∴∠ACB＝90°，

由折疊知，點A'與A關于BC對稱，

則AA'與BC的交點恰為點C，

即點C是AA'的中點，

設點A（m，n），

則＝0，＝2，

∴m＝1，n＝4，

∴A'（1，4）；

（3）如圖，當點P在直線BC的下方時，

由（2）知，△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，

作Rt△ABC的外接圓，則圓心為拋物線與x軸的交點，記作O'，

∴O'（，0），⊙O'半徑為，

∴O'P＝，設點P的坐標為（，a），

∴O'P＝﹣a，

∴﹣a＝，

∴a＝﹣，

∴P（，﹣）；

如圖，當點P在直線BC上方時，

由（2）知，A'（1，4），

由折疊知，△A'BC是以A'B為斜邊的直角三角形，作Rt△A'BC的外接圓，記圓心為O'，O'是A'B的中點，

∵B（4，0），

∴O'（，2），⊙O'的半徑為，

∵∠BPC＝∠BAC，

∴點P在⊙O'上，

∴O'P＝

設點P（，d）（d＞1），

∴O'P＝＝

∴d＝2﹣（舍）或d＝2+，

∴P（，2+），

即滿足條件的點P的坐標為（，﹣）或（，2+）．