Question

課本中把長與寬之比為的矩形紙片稱為標準紙．請解決下列問題：
（1）將一張標準紙ABCD(AB＜BC)對開，如圖1所示，所得的矩形紙片ABEF是標準紙．請給予證明；

（2）在一次綜合實踐課上，小明嘗試著將矩形紙片ABCD(AB＜BC)進行如下操作：
第一步：沿過A點的直線折疊，使B點落在AD邊上點F處，折痕為AE(如圖2甲)；
第二步：沿過D點的直線折疊，使C點落在AD邊上點N處，折痕為DG(如圖2乙) ．此時E點恰好落在AE邊上的點M處；
第三步：沿直線DM折疊（如圖2丙），此時點G恰好與N點重合．

請你研究，矩形紙片ABCD是否是一張標準紙？請說明理由．
（3）不難發現，將一張標準紙如圖3一次又一次對開后，所得的矩形紙片都是標準紙．現有一張標準紙ABCD，AB＝1，BC＝，問第5次對開后所得標準紙的周長是多少？探索并直接寫出第2002次對開后所得標準紙的周長．

Answer 1

（1）是標準紙；（2）是標準紙；（3），.

試題分析：（1）仔細分析題意根據即可作出判斷；
（2）利用已知得出△ADG是等腰直角三角形，得出，即可作出判斷；
（3）分別求出每一次對折后的周長，進而得出變化規律求出即可．
試題解析：（1）是標準紙．理由如下：
∵矩形ABCD是標準紙，∴
由對開的含義知：AF＝
∴
∴矩形紙片ABEF也是標準紙；
（2）是標準紙．理由如下：設AB＝CD＝a
由圖形折疊可知：DN＝CD＝DG＝a，DG⊥EM
∵由圖形折疊可知：△ABE≌△AFE
∴∠DAE＝∠BAD＝45°
∴△ADG是等腰直角三角形
∴在Rt△ADG中，AD＝
∴
∴矩形紙片ABCD是一張標準紙；
（3）第一次對開后所得標準紙的周長為
第二次對開后所得標準紙的周長為
第三次對開后所得標準紙的周長為
第四次對開后所得標準紙的周長為
第五次對開后所得標準紙的周長為
第2012次對開后所得的標準紙的周長為.