Question

如圖，直線y=﹣2x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△OCD．
（1）填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)是（　　，　　），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（　　，　　）；
（2）設(shè)直線CD與AB交于點(diǎn)M，求線段BM的長(zhǎng)；
（3）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得△BMP是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
 

Answer 1

（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，1），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（﹣2，0）
（2）．
（3）存在，所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是P₁（0，2+）、P₂（0，2﹣）、P₃（0，）、P₄（0，）．

解：（1）y=﹣2x+2，
當(dāng)x=0時(shí)，y=2，
當(dāng)y=0時(shí)，x=1
，∴A（1，0），B（0，2），
∵將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△OCD，
∴OC=0A=1，OD=OB=2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，1），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（﹣2，0），
故答案為：0，1，﹣2，0．
（2）由（1）可知：CD==，BC=1，
又∠ABO=∠ADC，∠BCM=∠DCO
∴△BMC∽△DOC（有兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似），
∴=，
即=，
∴BM==，
答：線段BM的長(zhǎng)是．
（3）存在，
分兩種情況討論：
①以BM為腰時(shí)，
∵BM=，又點(diǎn)P在y軸上，且BP=BM，
此時(shí)滿足條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，它們是P₁（0，2+）、P₂（0，2﹣），
過點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，
∵∠BMC=90°，則△BME∽△BCM，
∴=，
∴BE==，
又∵BM=PM，
∴PE=BE=，
∴BP=，
∴OP=2﹣=，
此時(shí)滿足條件的點(diǎn)P有一個(gè)，它是P₃（0，），
 
②以BM為底時(shí)，作BM的垂直平分線，分別交y軸、BM于點(diǎn)P、F，
由（2）得∠BMC=90°， 
∴PF∥CM，
∵F是BM的中點(diǎn)，
∴BP=BC=，
∴OP=OB﹣BP=2﹣=，
此時(shí)滿足條件的點(diǎn)P有一個(gè)，它是P₄（0，），
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P有四個(gè)，
它們是：P₁（0，2+）、P₂（0，2﹣）、P₃（0，）、P₄（0，）．
答：存在，所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是P₁（0，2+）、P₂（0，2﹣）、P₃（0，）、P₄（0，）．
 
（1）把x=0，y=0分別代入解析式求出A、B的坐標(biāo)，即可得出C、D的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)勾股定理求出CD，證△BMC∽△DOC，得到比例式即可求出答案；
（3）有兩種情況：①以BM為腰時(shí)，滿足BP=BM的有兩個(gè)；過點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，證△BME∽△BCM，求出BE、PE，進(jìn)一步求出OP即可；②以BM為底時(shí)，作BM的垂直平分線，分別交y軸、BM于點(diǎn)P、F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出即可．