Question

【題目】如圖，已知的半徑為，與外切于點，經過點的直線與、分別交于點、，．

（1）求的長；

（2）當時，求的半徑．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的半徑為．

【解析】

（1）作OM⊥AB于M，如圖，在Rt△OAM中根據正切定義得到tan∠OAM==，則設OM=x，AM=2x，由勾股定理得OA=5x，所以5x=5，解得x=1，于是得到AM=2，OM=，然后根據垂徑定理得到AB=2AM=4；

（2）作PN⊥AC于N，如圖，則AN=CN，設⊙P的半徑為r，先證明△PAN∽△OAM，利用相似比得到AN=r，則AC=2AN=r，在Rt△OMC中，根據勾股定理得到OC2（）2+（r+2）2，再證明△OAC∽△OCP，利用相似比得到OC2=OAOP=5（5+r），則（）2+（r+2）2=5（5+r），然后解r的方程即可．

（1）作于，如圖，

在中，，

設，，

∴，

∴，解得，

∴，，

∵，

∴，

∴；

（2）作于，如圖，則，設的半徑為，

∵，

∴，

∴，即，

解得，

∴，

∴，

在中，，

∵，

而，

∴，

∴，

∴，

∴，

整理得，

解得（舍去），，

即的半徑為．