Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作半圓⊙O交AC與點D，點E為BC的中點，連接DE．

（1）求證：DE是半圓⊙O的切線．
（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，OE，BD，

∵AB為圓O的直徑，

∴∠ADB=∠BDC=90°，

在Rt△BDC中，E為斜邊BC的中點，

∴DE=BE，

在△OBE和△ODE中，

，

∴△OBE≌△ODE（SSS），

∴∠ODE=∠ABC=90°，
∴OD⊥DE

則DE為圓O的切線；

（2）解：在Rt△ABC中，∠BAC=30°，

∴BC= AC，

∵BC=2DE=4，

∴AC=8，

又∵∠C=60°，DE=CE，

∴△DEC為等邊三角形，即DC=DE=2，

則AD=AC﹣DC=6．

【解析】（1）方法一、要證明DE是半圓⊙O的切線．由已知可知點D在半圓上，因此連接半徑OD，再證明OD⊥DE，還需連接OE，BD， 根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，證得DE=BE，從而可證明△OBE≌△ODE，得出∠ODE=∠ABC=90°，即可證得結論；方法二、或先證DE=BE，得出∠BDE=∠DBE，再由OB=OD得出∠OBD=∠ODB，而∠ABC=90°=∠OBD+∠DBE，繼而可知∠BDE+∠ODB=90°，得出OD⊥DE，即可證得結論。
（2）由已知易求出BC的長，再由直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，可求出AC的長，再證明△DEC為等邊三角形，從而可求得結果。
【考點精析】掌握含30度角的直角三角形和直角三角形斜邊上的中線是解答本題的根本，需要知道在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．