Question

【題目】在平面直角坐標系中，有三點，且滿足：

（1）求A、B、C三點坐標；

（2）已知，在y軸上有一點 ，在坐標軸上是否存在一點P，使△ABP和△ABC的面積相等？若存在，求出P點坐標．若不存在，請說明理由．（C點除外）

Answer 1

【答案】（1） （2）P（0，5）或P（0，-2）或P（-10，0）

【解析】

（1）根據算術平方根的非負性、絕對值的非負性、平方的非負性結合已知條件得出且且，解出a、b、c的值即可；

（2）分①當點P在y軸上時，②當點P在x軸上時兩種情況討論，先求出△ABC的面積，再設出點P的坐標，列出△ABP面積的表達式，進而利用△ABP和△ABC的面積相等得到方程，解方程即可.

解：（1）∵，且≥0，≥0，≥0，

∴且且，

解得：a=-3，b=3，c=4，

∴A、B、C三點坐標分別為：，，.

（2）在坐標軸上存在點P，使△ABP和△ABC的面積相等.理由如下：

如下圖1，過點B作BE⊥AC，由第（1）問得：AC=7，BE=3，

圖1

S△ABC=AC·BE=.

①當點P在y軸上時，設點P的坐標為（0，y），

S△ABP=PD·AO+PD·OE=PD·(AO+OE) =PD·AE= ·|y-|×6，

∵S△ABP= S△ABC

∴·|y-|×6=，

解得：y=5或y=-2，

∴點P的坐標為（0，5）或（0，-2）；

②當點P在x軸上時，設點P的坐標為（x，0），如下圖2：

圖2

S△ABP=AP·BE=·|-3-x|×3，

∵S△ABP= S△ABC

∴·|-3-x|×3=，

解得：x=-10或x=4（舍去），

∴點P的坐標為（-10，0）.

綜上，在坐標軸上存在點P，使△ABP和△ABC的面積相等，點P的坐標為（0，5）或（0，-2）或（-10，0）.