Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，cosB=，G為BC上一點(diǎn)（不與B重合），以BG為直徑的圓O交AB于D，作AD的垂直平分線交AD于F，交AC于E，連結(jié)DE．

（1）求證：DE為⊙O的切線；

（2）若BG=3，求DE的長(zhǎng)；

（3）設(shè)BG=x，DE=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系，寫出y的最小值．

Answer 1

【答案】(1)、證明過(guò)程見(jiàn)解析；(2)、；(3)、y與x的函數(shù)關(guān)系是y=，（0＜x≤6），y的最小值是4．

【解析】

試題分析：(1)、連接OD、DG，由BG為圓的直徑可知∠BDG是直角，然后只要證明∠ODE=90°，即可證明結(jié)論成立，根據(jù)題目中的條件可以得到∠ODE=90°，本題得以解決；(2)、根據(jù)題目中的條件和勾股定理，可以轉(zhuǎn)化為直角三角形ODE和直角三角形OCD兩直角邊的平方等于OE的平方，從而可以得到DE的長(zhǎng)；(3)、根據(jù)（2）中的求解方法，可以得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到y(tǒng)的最小值．

試題解析：(1)、連接OD、DG，如右圖所示， ∵BG為⊙O的直徑，OD=OB，∠ACB=90°，

∴∠BDG=90°，∠ODB=∠B，∠B+∠A=90°， ∴∠A=∠ODG，∠GDE+∠EDA=90°，

又∵EF是AD的垂直平分線， ∴∠A=∠EDA， ∴∠EDA=∠ODG， ∴∠GDE+∠ODG=90°，

即OD⊥DE， ∵OD是⊙O的半徑， ∴DE為⊙O的切線；

(2)、連接OE，如右上圖所示，

∵∠ACB=90°，AB=10，cosB=， ∴BC=ABcosB=6，AC=8， ∵BG=3，

∴OD=1.5，OC=BC﹣OB=6﹣1.5=4.5， ∵EF是AD的垂直平分線， ∴EA=ED，

設(shè)EA=x，則ED=x，EC=8﹣x， ∵∠ECO=90°，∠EDO=90°， ∴DE2+OD2=EC2+OC2，

即x2+1.52=（8﹣x）2+4.52， 解得，x=， 即DE的長(zhǎng)是；

(3)、連接OE，如右上圖所示，

∵∠ACB=90°，AB=10，cosB=， ∴BC=ABcosB=6，AC=8， ∵BG=x，

∴OD=0.5x，OC=BC﹣OB=6﹣0.5x， ∵EF是AD的垂直平分線，ED=y， ∴EA=ED=y， ∴EC=8﹣y，

∵∠ECO=90°，∠EDO=90°， ∴DE2+OD2=EC2+OC2， 即y2+（0.5x）2=（8﹣y）2+（6﹣0.5x）2，

化簡(jiǎn)，得y=，（0＜x≤6） ∵﹣＜0， ∴y隨x的增大而減小，

∴當(dāng)x=6時(shí)，y取得最小值，此時(shí)y==4， 即y與x的函數(shù)關(guān)系是y=，（0＜x≤6），y的最小值是4．