Question

【題目】如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點A（﹣2，0）和點B（4，0），與y軸交于點C（0，﹣4）．

（1）求二次函數的解析式，并寫出拋物線的對稱軸，頂點坐標；

（2）設E時拋物線對稱軸上一點，當∠BEC=90°時，求點E的坐標；

（3）若P（m，n）是拋物線上一個動點（其中m＞0，n＜0），是否存在這樣的點P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)、y=x2﹣x﹣4；對稱軸為x=1，頂點坐標為（1，﹣）；(2)、（1，﹣2﹣）或（1，﹣2+）；(3)、（2，﹣4），最大值為4.

【解析】

試題分析：(1)、由點A、B、C三點的坐標利用待定系數法即可求出二次函數的解析式，再利用配方法將其化成頂點式即可找出該拋物線的對稱軸及頂點坐標；(2)、設點E的坐標為（1，t），由兩點間的距離公式可求出BE、CE、BC的長，根據勾股定理即可得出關于t的一元二次方程，解方程即可得出點E的坐標；

(3)、由點P在拋物線上，可用m表示出n，由點B、C的坐標利用待定系數法即可求出直線BC的解析式，再由點到直線的距離求出點P到直線BC的距離，根據三角形的面積公式即可得出S△PBC關于m的關系式，利用二次函數的性質即可解決最值問題．

試題解析：(1)、將點A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣4）代入y=ax2+bx+c中，

得，解得：， ∴二次函數的解析式為y=x2﹣x﹣4．

∵y=x2﹣x﹣4=（x﹣1）2﹣， ∴該拋物線的對稱軸為x=1，頂點坐標為（1，﹣）．

(2)、依照題意，畫出圖形，如圖1所示． 設點E的坐標為（1，t）， ∵B（4，0）、C（0，﹣4），

∴BE=，CE=，BC=4， ∵∠BEC=90°，∴BE2+CE2=BC2，即9+t2+t2+8t+17=32，

解得：t1=﹣2+，t2=﹣2﹣， 即點E的坐標為（1，﹣2﹣）或（1，﹣2+）．

(3)、假設存在，如圖2所示． ∵P（m，n）是拋物線上一個動點（其中m＞0，n＜0），

∴n=m2﹣m﹣4，0＜m＜4． 設直線BC的解析式為y=kx﹣4， ∵點B（4，0）為直線BC上的點，

∴0=4k﹣4，解得：k=1， ∴直線BC的解析式為y=x﹣4，即x﹣y﹣4=0．

點P到直線BC的距離d==|﹣m2+m|， ∵0＜m＜4，

∴d=﹣m2+m． S△PBC=BCd=×4×（﹣m2+m）=﹣m2+4m=﹣（m﹣2）2+4，

∴當m=2，即點P的坐標為（2，﹣4）時，S△PBC取最大值4