Question

【題目】閱讀探索題：

（1）如圖1，OP是∠MON的平分線，以O為圓心任意長為半徑作弧，交射線ON，OM為C，B兩點，在射線OP上任取一點A（O點除外），連接AB，AC，求證：△AOB≌△AOC.

（2）請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：

①如圖2：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，試判斷BC和AC、AD之間的數量關系；

②如圖3，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9，求AB的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①BC=AC+AD；②21.

【解析】試題分析：（1）根據以O為圓心任意長為半徑作弧，交射線ON，OM為C，B兩點，OP是∠MON的平分線，運用SAS判定△AOB≌△AOC即可；
（2）先截取CE=CA，連接DE，根據SAS判定△CAD≌△CED，得出AD=DE，∠A=∠CED=60°，AC=CE，進而得出結論BC=AC+AD；
（3）先截取AE=AD，連接CE，作CH⊥AB，垂足為點H，根據△ADC≌△AEC，在Rt△ACH和Rt△CEH中，設EH=HB=x，利用CH為公共邊，列出方程172-（9+x）2=102-x2，求得x的值即可得到AB的長．

試題解析：（1）如圖1，以O為圓心任意長為半徑作弧，交射線ON，OM為C，B兩點，則OB=OC，

∵OP是∠MON的平分線，
∴∠AOB=∠AOC，
在△AOB和△AOC，
，
∴△AOB≌△AOC（SAS）；
（2）BC=AC+AD
如圖2，截取CE=CA，連接DE，

∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ECD，
在△ACD與△ECD中，
，
∴△CAD≌△CED（SAS），
∴AD=DE，∠A=∠CED=60°，AC=CE，
∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴∠B=∠EDB=30°，
∴DE=EB=AD，
∴BC=AC+AD；
（3）如圖，截取AE=AD，連接CE，作CH⊥AB，垂足為點H，

同理△ADC≌△AEC，
∴AE=AD=9，CD=CE=10=CB，
∵CH⊥AB，CE=CB，
∴EH=HB，
設EH=HB=x，
在Rt△ACH和Rt△CEH中
172-（9+x）2=102-x2，
解得：x=6，
∴AB=21．