Question

【題目】如圖，在ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，將ABC繞點C逆時針旋轉60°得到DGC，再將ABC沿ＡＢ所在直線翻折得到ABE，連接AD，BG，延長BG交AD于點F，連接CF．

（1）求證：四邊形ABCF是矩形；

（2）若GF＝2，求四邊形AECD的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）24

【解析】

（1）由旋轉的性質可得AC=CD，∠DCG=∠ACB=60°，CG=CB，可證△ACD是等邊三角形，△CBG是等邊三角形，可得∠DAC=∠CGB=∠AGF=60°，BG=BC=CG，由直角三角形的性質可得AG=CG=BC，由矩形的判定可得結論；
（2）先證四邊形AECD是菱形，由菱形的面積公式可求解．

（1）∵△ABC繞點C旋轉得到△DGC，

∴AC＝CD，∠DCG＝∠ACB＝60°，

∴△ACD是等邊三角形，

∴∠DAC＝60°

∵在Rt△DGC中，∠CDG＝30°，

∴DC＝2CG＝AC，

∴AG＝GC＝BC，

∴∠CGB＝∠AGF＝60°，

∴△CBG和△AGF都是等邊三角形，

∴AG＝GC＝BG＝GF，

∴四邊形ABCF是矩形；

（2）∵△ABC繞點C旋轉得到△DGC，△ABC沿AB所在直線翻折得到△ABE，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，

∴DC＝AC＝AE，∠DCG＝∠ACB＝∠AEC＝60°，

∴∠AEC＋∠DCE＝180°，

∴DC∥AE，

∴四邊形AECD為平行四邊形．

又∵AC＝2CB，

∴AC＝CE＝AE，

∴四邊形AECD為菱形

∵GF＝2，

∴AC＝CE＝4，CB＝2，

∴AB＝＝6，

∴S四邊形AECD＝4×6＝24