Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，點E為AD的中點，點P為線段AB上一個動點，連接EP，將△APE沿EP折疊得到△EPF，連接CE，CF，當△ECF為直角三角形時，AP的長為______.

Answer 1

【答案】1或．

【解析】

分∠CFE=90°和∠CEF=90°兩種情況求AP得長即可.

①當∠CFE=90°時(如圖所示)，△ECF是直角三角形，

由折疊可得，∠PFE=∠A=90°，AE=FE=DE，

∴∠CFP=180°，即點P，F，C在一條直線上，

在Rt△CDE和Rt△CFE中，

，

∴Rt△CDE≌Rt△CFE（HL），

∴CF=CD=4，

設AP=FP=x，則BP=4﹣x，CP=x+4，

在Rt△BCP中，BP2+BC2=PC2，即（4﹣x）2+62=（x+4）2，

解得x=，即AP=；

②當∠CEF=90°時（如圖所示），△ECF是直角三角形，

過F作FH⊥AB于H，作FQ⊥AD于Q，則∠FQE=∠D=90°，

又∵∠FEQ+∠CED=90°=∠ECD+∠CED，

∴∠FEQ=∠ECD，

∴△FEQ∽△ECD，

∴，即，

解得FQ=，QE= ，

∴AQ=HF=，AH=，

設AP=FP=x，則HP=﹣x，

∵Rt△PFH中，HP2+HF2=PF2，即（﹣x）2+（）2=x2，

解得x=1，即AP=1．

綜上所述，AP的長為1或．