Question

【題目】如圖1，△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE．

（1）求證：BD=CE；
（2）若點M，N分別是BD，CE的中點，如圖2，連接AM，AN，MN，若AC=6，AE=4，∠EAC=60°，求AN的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

（1）由∠BAC=∠DAE知∠EAC=∠DAB，根據AB=AC、AD=AE即可證△CAE≌△BAD，從而得證；
（2）取AC的中點F，連接FN，過點N作NG⊥AC，據此可得NF∥AE、NF=AE=2，繼而由∠GFN=∠EAC=60°得FG= FN=1、AG=4、NG=，利用勾股定理可得答案．

（1）∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，
∴∠EAC=∠DAB，
∵AB=AC、AD=AE，
∴△CAE≌△BAD，
∴BD=CE；
（2）取AC的中點F，連接FN，過點N作NG⊥AC于點G，

∵N是CE的中點，
∴NF∥AE，NF=AE=2，
∴∠GFN=∠EAC=60°，
∴∠FNG=30°，
∴FG=FN=1，
∴AG=1+3=4，NG=，
在Rt△ANG中，由勾股定理可得AN=．