Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線L1：過點C(0，﹣3)，與拋物線L2：的一個交點為A，且點A的橫坐標為2，點P、Q分別是拋物線L1、拋物線L2上的動點．

（1）求拋物線L1對應的函數表達式；

（2）若以點A、C、P、Q為頂點的四邊形恰為平行四邊形，求出點P的坐標；

（3）設點R為拋物線L1上另一個動點，且CA平分∠PCR，若OQ∥PR，求出點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線對應的函數表達式為；（2）點的坐標為或或或；（3）點坐標為或.

【解析】

（1）先求出A點的坐標，再用待定系數法求出函數解析式便可；

（2）設點P的坐標為（x，x2﹣2x﹣3），分兩種情況討論：AC為平行四邊形的一條邊，AC為平行四邊形的一條對角線，用x表示出Q點坐標，再把Q點坐標代入拋物線中，列出方程求得解便可；

（3）當點P在y軸左側時，拋物線L1不存在點R使得CA平分∠PCR，當點P在y軸右側時，不妨設點P在CA的上方，點R在CA的下方，過點P、R分別作y軸的垂線，垂足分別為S、T，過點P作PH⊥TR于點H，設點P坐標為（x1，），點R坐標為（x2，），證明△PSC∽△RTC，由相似比得到x1+x2＝4，進而得tan∠PRH的值，過點Q作QK⊥x軸于點K，設點Q坐標為（m，），由tan∠QOK＝tan∠PRH，移出m的方程，求得m便可．

（1）將代入，得，故點的坐標為.

將代入，

得，解得.

所以拋物線對應的函數表達式為.

（2）設點的坐標為.

第一種情況：為平行四邊形的一條邊.

①當點在點右側時，則點的坐標為.

將代入，得

，

整理得，解得.

因為時，點與點重合，不符合題意，所以舍去，

此時點的坐標為.

②當點在點左側時，則點的坐標為.

將代入，得

，

整理得，解得.

此時點的坐標為或.

第二種情況：當為平行四邊形的一條對角線時.

由的中點坐標為，得的中點坐標為，

故點的坐標為.

將代入，得

，

整理得，解得.

因為時，點與點重合，不符合題意，所以舍去，

此時點的坐標為.

綜上所述，點的坐標為或或或.

（3）當點在軸左側時，拋物線不存在動點使得平分.

當點在軸右側時，不妨設點在的上方，點在的下方，

過點、分別作軸的垂線，垂足分別為，

過點作，垂足為，則有.

由平分，得，則，

故，所以.

設點坐標為，

點坐標為，

所以有，

整理得.

在中，.

過點作軸，垂足為.設點坐標為.

若，則需.所以.

所以.解得.

所以點坐標為或.