Question

【題目】如圖，已知二次函數的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，，對稱軸為直線，則下列結論：①；②；③；④是關于x的一元二次方程的一個根，其中正確的有_________個

Answer 1

【答案】2

【解析】

根據二次函數的圖象和性質逐一判斷即可．

解：①根據拋物線的開口方向向下知，a<0；

因拋物線的對稱軸為直線x=1，即=1，故b=-2a>0；

當x=0時，y=c，則點C的坐標為（0，c），因c(0，c)在y軸正半軸上，故c>0；

所以abc<0

故結論①正確；

②∵b=-2a

∴

故結論②錯誤；

③∵c(0,c)，c>0

∴OC=c

∴OA=OC=c

∴A(-c,0)

因點A在拋物線上，故有

整理得：

∵c>0

∴ac-b+1=0

∴ac-b+1+2b=2b

∴ac+b+1=2b>0

故結論③錯誤；

④∵A（-c,0），拋物線的對稱軸為直線x=1，

∴A點到拋物線對稱軸的距離為1+c，

∵A、B兩點關于對稱軸對稱，

∴A點到對稱軸的距離與B點到對稱軸的距離相等，

∴A、B兩點的距離為2（1+c）=2+2c，

∴AB=2+2c，

∴OB=AB-OA=2+2c-c=2+c，

即點B的坐標為（2+c,0），

故2+c是關于x的一元二次方程的一個根．

故結論④正確．

故答案為：2．