Question

【題目】如圖 1，在矩形 ABCD 中，點 E 以 lcm/s 的速度從點 A 向點 D 運動，運動時間為 t（s），連結 BE，過點 E 作 EF⊥BE，交 CD 于 F，以 EF 為直徑作⊙O．

（1）求證：∠1＝∠2；

（2）如圖 2，連結 BF，交⊙O 于點 G，并連結 EG．已知 AB＝4，AD＝6．

①用含 t 的代數式表示 DF 的長

②連結 DG，若△EGD 是以 EG 為腰的等腰三角形，求 t 的值；

（3）連結 OC，當 tan∠BFC＝3 時，恰有 OC∥EG，請直接寫出 tan∠ABE 的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①，②若△EGD 是以 EG 為腰的等腰三角形，t 的值為 3 或 ；（3）tan∠ABE＝1.

【解析】

（1）根據矩形的性質得到AD∥BC，∠A=∠ADC=90°，根據余角的性質即可得到結論；

（2）①根據相似三角形的性質即可得到結論；

②當EG=ED時，根據相似三角形的性質得到結論；當GE=GD時，根據全等三角形的性質和勾股定理即可得到結論；

（3）如圖2，過O作OH⊥CD于H，設CF=a，BC=3a，得到DE=3a-t，根據三角形的中位線的性質得到OH=DE=，根據三角函數的定義得到DF=7a-3t，AB=8a-3t，根據相似三角形的性質即可得到結論．

（1）∵四邊形 ABCD 是矩形，

∴AD∥BC，∠A＝∠ADC＝90°，

∴∠AEB＝∠1，

∵EF⊥BE，

∴∠AEB+∠DEF＝90°，

∵∠2+∠DEF＝90°，

∴∠AEB＝∠2，

∴∠1＝∠2；

（2）①∵∠A＝∠ADC＝90°，∠AEB＝∠EFD，

∴△ABE∽△DEF，

∴，

∵AB＝4，AE＝t，DE＝6﹣t，

∴，

∴，

②當 EG＝ED 時，

∴∠EGD＝∠EDG，

∵∠EGD＝∠EFD，∠EDG＝∠EFG，

∴∠EFD＝∠EFG＝∠AEB，

∵∠A＝∠EDF＝∠BEF，

∴△BAE∽△EDF∽△BEF，

∴＝＝，

∴AE＝DE，

∴t＝6﹣t，

∴t＝3；

當 GE＝GD 時，∴∠GED＝∠GDE，

∵∠EDG＝∠BFE，∠GED＝∠BFC，

∴∠BFE＝∠BFC，

∵∠BEF＝∠C＝90°，BF＝BF，

∴△BEF≌△BCF（AAS），

∴BE＝BC＝6，

∵AB2+AE2＝BE2，

∴42+t2＝62，

∴t＝2；

綜上所述，若△EGD 是以 EG 為腰的等腰三角形，t 的值為 3 或 ；

（3）tan∠ABE＝1，

理由：如圖 2，過 O 作 OH⊥CD 于 H，

∵tan∠BFC＝＝3，

設 CF＝a，BC＝3a，

∵AE＝t，

∴DE＝3a﹣t，

∵OH⊥CD，AD⊥CD，

∴OH∥DE，

∵OF＝OE，

∴OH＝DE＝，

∵OC∥EG，EG⊥FG，

∴OC⊥FG，

∴tan∠COH＝tan∠BFC＝3，

∴CH＝3OH＝，FH＝，

∴DF＝7a﹣3t，AB＝8a﹣3t，

由△ABE∽△DEF，得 ， ，

解得t1=2a，t2=a，

當t=a時，8a-3t<0，不合題意，舍去；

當t=2a時，

∴tan∠ABE＝＝＝＝1．