Question

【題目】已知拋物線

（1）若求該拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若，是否存在實(shí)數(shù),使得相應(yīng)的y=1，若有，請(qǐng)指明有幾個(gè)并證明你的結(jié)論，若沒(méi)有，闡述理由。

（3）若且拋物線在區(qū)間上的最小值是-3，求b的值。

Answer 1

【答案】（1），和；（2）即存在兩個(gè)不同實(shí)數(shù)，使得相應(yīng)；（3）或.

【解析】

（1）先將a=b=1，c=-1代入y=3ax2+2bx+c，得到拋物線為y=3x2+2x-1，再用因式分解法求出方程3x2+2x-1=0的兩個(gè)根，即可得到該拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）將y=1代入y=3ax2+2bx+c，得到3ax2+2bx+c=1，則△=4b2-12a（c-1），再將c-1=-a-b代入△，整理得到△=，由a≠0，得出△＞0，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知方程3ax2+2bx+c=1有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，即存在兩個(gè)不同實(shí)數(shù)x0，使得相應(yīng)的y=1；

（3）先將代入y=3ax2+2bx+c，得到拋物線為y=x2+2bx+b+2，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出其對(duì)稱(chēng)軸為x=-b，再分三種情況進(jìn)行討論：①x=-b＜-2；②x=-b＞2；③-2≤-b≤2．

解（1）當(dāng)，時(shí)，拋物線為，

∵方程的兩個(gè)根為，．

∴該拋物線與軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)是和；

（2）存在兩個(gè)不同實(shí)數(shù)x0，使得相應(yīng)的y=1．理由如下：

由得， 即，

，

，

∴，

所以方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，

即存在兩個(gè)不同實(shí)數(shù)，使得相應(yīng)；

（3），則拋物線可化為，其對(duì)稱(chēng)軸為，分三種情況：

①當(dāng)時(shí)，即，則有拋物線在時(shí)取最小值為-3，此時(shí)，解得，合題意；

②當(dāng)時(shí)，即，則有拋物線在時(shí)取最小值為-3，此時(shí)，解得，不合題意，舍去；

③當(dāng)時(shí)，即，則有拋物線在時(shí)取最小值為-3，此時(shí)，化簡(jiǎn)得：，解得：（不合題意，舍去），；

綜上：或.