Question

【題目】在平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點分別為A（0，1），B（-1，0），C（0，-1），D（1，0）．對于圖形M，給出如下定義：P為圖形M上任意一點，Q為正方形ABCD邊上任意一點，如果P，Q兩點間的距離有最大值，那么稱這個最大值為圖形M的“正方距”，記作．

（1）已知點，

①直接寫出的值；

②直線與x軸交于點F，當取最小值時，求k的取值范圍；

（2）的圓心為 ，半徑為1．若，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①5．②見解析；（2）．

【解析】

(1) ①根據題意 是指點 到正方形上動點的最大距離，所以當點與點重合時，此時最大為；

②根據的最小值是，可知，所以當直線經過和,即可求出的值；

（2）根據圓心 ，半徑為 ，可知圓在直線的直線上動，因為圓上動點到正方形邊上動點的最大值，所以可以轉化成 圓的半徑圓心到正方形邊上動點，因為，可以算出的分界點，由于圓心到點Q的最大值存在一種情況時，可以計算出，剛好，即可求出符合題意 的取值范圍.

解：1.①由根據題意 是指點 到正方形上動點的最大距離，所以當點與點重合時，此時最大，即

②如圖所示：

∵ ．

當點的橫坐標在 時，,

當點的橫坐標在時， ,

∵要取最小值，

∴

∴符合題意的點F滿足

∴當直線經過點的坐標為和點的坐標為是分別求得 ．

∴ 或 ．

結合函數圖象可得或．

（2）由題意可知：

時

可計算當時，

當圓心在軸左側時

可以考慮到當時，

利用兩點之間的距離公式：

即

求得：，

當時，，即

當圓心在軸右側時

可以考慮到當時，

利用兩點之間的距離公式：

即

求得：，

當時，，即