Question

【題目】已知，如圖拋物線y=ax2+3ax+c（a＞0）與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點，點A在點B左側．點B的坐標為（1，0），OC=3OB,

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值；
（3）若點E在x軸上，點P在拋物線上．是否存在以A，C，E，P為頂點且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2＋x－3；（2）13.5；（3）存在，P1（-3，-3），P2（，3），P3（ ，3）．

【解析】

（1）根據OC=3OB，B（1，0），求出C點坐標（0，-3），把點B，C的坐標代入y=ax2+2ax+c，求出a點坐標即可求出函數解析式；
（2）過點D作DE∥y軸分別交線段AC于點E．設D（m，m2+2m-3），然后求出DE的表達式，把S四邊形ABCD分解為S△ABC+S△ACD，轉化為二次函數求最值；
（3）①過點C作CP1∥x軸交拋物線于點P1，過點P1作P1E1∥AC交x軸于點E1，此時四邊形ACP1E1為平行四邊形．②平移直線AC交x軸于點E，交x軸上方的拋物線于點P2，P3，由題意可知點P2、P3的縱坐標為3，從而可求得其橫坐標．

（1）∵B的坐標為（1，0），
∴OB=1．
∵OC=3OB=3，點C在x軸下方，
∴C（0，-3）．
∵將B（1，0），C（0，-3）代入拋物線的解析式得：

，解得：a=，C=-3，
∴拋物線的解析式為y=x-3．
（2）如圖1所示：過點D作DE∥y，交AC于點E．

∵x=-=-，B（1，0），
∴A（-4，0）．
∴AB=5．
∴S△ABC=ABOC=×5×3=7.5．
設AC的解析式為y=kx+b．
∵將A（-4，0）、C（0，-3）代入得：

，解得：k=-，b=-3，
∴直線AC的解析式為y=-x-3．
設D（a，a2+a-3），則E（a，-a-3）．
∵DE=-（a+2）2+3，
∴當a=-2時，DE有最大值，最大值為3．
∴△ADC的最大面積=DEAO=×3×4=6．
∴四邊形ABCD的面積的最大值為13.5．
（3）存在．
①如圖2，過點C作CP1∥x軸交拋物線于點P1，過點P1作P1E1∥AC交x軸于點E1，此時四邊形ACP1E1為平行四邊形．

∵C（0，-3），令x-3=-3，
∴x1=0，x2=-3．
∴P1（-3，-3）．
②平移直線AC交x軸于點E2，E3，交x軸上方的拋物線于點P2，P3，當AC=P2E2時，四邊形ACE2P2為平行四邊形，當AC=P3E3時，四邊形ACE3P3為平行四邊形．
∵C（0，-3），
∴P2，P3的縱坐標均為3．
令y=3得：x-3=3，解得；x1=，x2=．
∴P2（，3），P3（，3）．
綜上所述，存在3個點符合題意，坐標分別是：P1（-3，-3），P2（，3），P3（ ，3）．