Question

【題目】是等邊三角形，為平面內的一個動點，，平分，且．

（1）當與重合時(如圖1)，求的度數；

（2）當在的內部時(如圖2)，求的度數；

（3）當在的外部時，請你直接寫出的度數為　　　．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）30°或150°

【解析】

（1）由于P，A重合，DP=DB，∠DBP=∠BPD，因為DB是∠PBC的平分線，可得∠DBP=∠BPD=30°；
（2）連接CD，由“SAS”可證△PBD≌△CBD，可得∠BPD=∠BCD，由“SSS”可證△BCD≌△ACD，可得∠BCD=∠ACD=∠ACB=30°，即可求解；
（3）分三種情況：①當BP在AB的左側，BD在△ABC內部時；②當BP，BD都在三角形外部，且∠BPD為銳角時；③當BP，BD都在△ABC外部，且∠BPD為鈍角時，同(2)中的步驟分別求解．連接CD，步驟有2個，一是證明△PBD≌△CBD，從而得出∠BPD=∠BCD，二是證明△BCD≌△ACD，得出∠BCD=∠ACD，從而可得出結果．

解：（1）∵是等邊三角形，

∴，

∵平分，

∴，

∴

∵，

∴；

(2)連接，

∵點在的平分線上，

∴，

∵是等邊三角形，

∴．

在和中，

，

∴．

∴．

在和中，

，

∴，

∴，

∴；

（3）如圖3，連接CD，

同（2）可得△ACD≌△BCD（SSS），
∴∠ACD=∠BCD=30°，

同（2）可得△PBD≌△CBD（SAS），
∴∠BPD=∠BCD=30°；
如圖4，連接CD，

同理可得△ACD≌△BCD（SSS），
∴∠ACD=∠BCD=30°，

同理可得△PBD≌△CBD（SAS），
∴∠BPD=∠BCD=30°；
如圖5，連接CD，

同理可得△ACD≌△BCD（SSS），
∴∠ACD=∠BCD=（360°-60°）÷2=150°，

同理可得△PBD≌△CBD（SAS）
∴∠BPD=∠BCD=150°．

綜上可知，∠BPD的度數為30°或150°，

故答案為：30°或150°．