Question

【題目】如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠ABC=60°，在菱形ABCD內部有一點P，當PA+PB+PC值最小時，PB的長為________．

Answer 1

【答案】

【解析】

將△APC繞點C順時針旋轉60°，得到△DEC，連接PE、DE，則線段BD即為PA+PB+PC最小值的線段；當B、P、E、D四點共線時，PA+PB+PC值最小，最小值為BD．先由旋轉的性質得出△APC≌△DEC，則CP=CE，再證明△PCE是等邊三角形，得到PE=CE=CP，然后根據菱形、三角形外角的性質，等腰三角形的判定得出BP=CP，同理，得出DE=CE，則BP=PE=ED=BD．

將△APC繞點C順時針旋轉60°，得到△DEC，連接PE、DE，

則線段BD等于PA+PB+PC最小值的線段；

如圖，當B. P、E. D四點共線時，PA+PB+PC值最小，最小值為BD.

∵將△APC繞點C順時針旋轉60°，得到△DEC，

∴△APC≌△DEC，

∴CP=CE,∠PCE=60°，

∴△PCE是等邊三角形，

∴PE=CE=CP,∠EPC=∠CEP=60°.

∵菱形ABCD中,∠ABP=∠CBP= ∠ABC=30°，

∴∠PCB=∠EPC∠CBP=60°∠30°=30°，

∴∠PCB=∠CBP=30°，

∴BP=CP，

同理，DE=CE，

∴BP=PE=ED.

連接AC，交BD于點O，則AC⊥BD.

在Rt△BOC中,∵∠BOC=90°,∠OBC=30°，BC=4，

∴BO=BCcos∠OBC=4× = ，

∴BD=2BO=，

∴BP=BD=.

即當PA+PB+PC值最小時PB的長為.

故答案為：.