Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+2x+c（a＜0）與x軸交于點A和點B（點A在原點的左側，點B在原點的右側），與y軸交于點C，OB＝OC＝3．

（1）求該拋物線的函數解析式；

（2）如圖1，連接BC，點D是直線BC上方拋物線上的點，連接OD，CD，OD交BC于點F，當S△COF：S△CDF＝3：2時，求點D的坐標．

（3）如圖2，點E的坐標為（0，），在拋物線上是否存在點P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，請直接寫出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）點D（1，4）或（2，3）；（3）當點P在x軸上方時，點P（，）；當點P在x軸下方時，點（﹣，﹣）

【解析】

(1)c=3，點B(3，0)，將點B的坐標代入拋物線表達式：y=ax2+2x+3，解得a=﹣1即可得出答案；

(2)由S△COF：S△CDF=3：2得OF：FD=3：2，由DH∥CO得CO：DM=3：2，求得DM=2，而DM==2，即可求解；

(3)分點P在x軸上方、點P在x軸下方兩種情況，分別求解即可．

(1) ∵OB=OC=3，

∴點C的坐標為C(0，3)，c=3，點B的坐標為B(3，0)，

將點B的坐標代入拋物線表達式：y=ax2+2x+3，解得：a=﹣1，

故拋物線的表達式為：y=﹣x2+2x+3；

(2)如圖，過點D作DH⊥x軸于點H，交BC于點M，

∵S△COF：S△CDF=3：2，

∴OF：FD=3：2，

∵DH∥CO，

∴CO：DM= OF：FD=3：2，

∴DM=CO=2，

設直線BC的表達式為：，

將C(0，3)，B(3，0)代入得，

解得：，

∴直線BC的表達式為：y=﹣x+3，

設點D的坐標為(x，﹣x2+2x+3)，則點M(x，﹣x+3)，

∴DM==2，

解得：x=1或2，

故點D的坐標為：(1，4)或(2，3)；

(3)①當點P在x軸上方時，

取OG=OE，連接BG，過點B作直線PB交拋物線于點P，交y軸于點M，使∠GBM=∠GBO，

則∠OBP=2∠OBE，過點G作GH⊥BM，如圖，

∵點E的坐標為(0，)，

∴OE=，

∵∠GBM=∠GBO，GH⊥BM，GO⊥OB，

∴GH= GO=OE=，BH=BO=3，

設MH=x，則MG=，

在△OBM中，OB2+OM2=MB2，即，

解得：x=2，

故MG==，則OM=MG+ GO=+，

點M的坐標為(0，4)，

設直線BM的表達式為：，

將點B(3，0)、M(0，4)代入得：，

解得：，

∴直線BM的表達式為：y=x+4，

解方程組

解得：x=3(舍去)或，

將x=代入 y=x+4得y=，

故點P的坐標為(，)；

②當點P在x軸下方時，如圖，過點E作EN⊥BP，直線PB交y軸于點M，

∵∠OBP=2∠OBE，

∴BE是∠OBP的平分線，

∴EN= OE=，BN=OB=3，

設MN=x，則ME=，

在△OBM中，OB2+OM2=MB2，即，

解得：，

∴，則OM=ME+ EO=+，

點M的坐標為(0，-4)，

設直線BM的表達式為：，

將點B(3，0)、M(0，-4)代入得：，

解得：，

∴直線BM的表達式為：，

解方程組

解得：x=3(舍去)或，

將x=代入得，

故點P的坐標為(，)；

綜上，點P的坐標為：(，)或(，) ．