Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中AD∥BC，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，點E為邊AD上一點，將ABE沿BE翻折，點A落在對角線BD上的點G處，連接EG并延長交射線BC于點F．

（1）如果cos∠DBC，求EF的長；

（2）當點F在邊BC上時，連接AG，設AD＝x，y，求y關于x的函數關系式并寫出x的取值范圍；

（3）連接CG，如果△FCG是等腰三角形，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）EF＝9；（2）y（x）；（3）AD的長為或

【解析】

（1）利用S△BEF=BFAB=EFBG，即可求解；

（2）過點A作AH⊥BG交于點H，連接AG，設：BF＝a，先表示出AH，根據三角形面積公式可得y，由tanα可得a2＝36+（）2，整理可得y關于x的函數關系式，根據BF≤10可求出x的取值范圍.

（3）分GF=FC、CF=CG兩種情況，求解即可．

（1）將△ABE沿BE翻折，點A落在對角線BD上的點G處，

∴BG⊥EF，BG＝AB＝6，

cos∠DBC，則：BF＝9，

S△BEFBFABEFBG，即：9×6＝6×EF，

則EF＝9；

（2）過點A作AH⊥BG交于點H，連接AG，設：BF＝a，

在Rt△BGF中， cosα，則tanα，

∵∠BAH+∠ABH=90°，∠ADB+∠ABH=90°，

∴∠BAH=∠ADB= a，

∴AH=6cos a，

∴y①，

∵tanα，

∴a2＝36+（）2…②，

把②式代入①式整理得：y；

∵BF≤10，

∴36+（）2≤100，

解之得x，

∴y（x）；

（3）①當GF＝FC時，

∵cosα，

∴，

∴BF=，

∴FC=10-，

∵sinα=，

∴，

整理得,

4x2-45x=0，

∴x1，x2=0（舍去），

∴AD；

②當CF＝CG時，

∵CF＝CG，

∴∠CFG=∠CGF，

∵∠CFG+∠CBG=90°，∠CGF+∠CGB=90°，

∴∠CBG=∠CGB，

∴CG=CB=CF=10，

∴BF=20.

∵sinα=，

∴，

整理得

91x2=324，

∴x1，x2（舍去）；

故：AD的長為或．