Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)B（6，0）的直線(xiàn)AB與直線(xiàn)OA相交于點(diǎn)A（4，2）．

（1）求直線(xiàn)AB的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若在y軸上存在一點(diǎn)M，使MA+MB的值最小，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）在x軸上是否存在點(diǎn)N，使△AON是等腰三角形？如果存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+6；（2）M（0，）；（3）存在點(diǎn)N坐標(biāo)為：（﹣2，0）或（2，0）或（8，0）或（，0），理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y＝kx+b，把A（4，2），B（6，0）代入即可求解；

（2）點(diǎn)B（6，0）關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，∴B'（﹣6，0），連接AB'交y軸于M，此時(shí)MA+MB最小，即可求解；

（3）分AO＝AN、AO＝ON、AN＝ON三種情況，分別求解即可．

：（1）設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=kx+b，
把A（4，2），B（6，0）代入得： ，解得： ，
∴直線(xiàn)AB的表達(dá)式為y=-x+6；
（2）作點(diǎn)B（6，0）關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，
∴B'（-6，0），

連接AB'交y軸于M，此時(shí)MA+MB最小，
設(shè)直線(xiàn)AB'的解析式為y=mx+n，
將A（4，2），B'（-6，0）代入得： ，解得： ，
∴直線(xiàn)AB'的解析式為：y= ，
當(dāng)x=0時(shí)，y=，∴M（0，）；
（3）存在，理由：
設(shè)：點(diǎn)N（m，0），點(diǎn)A（4，2），點(diǎn)O（0，0），
則AO2=20，AN2=（m-4）2+4，ON2=m2，
①當(dāng)AO=AN時(shí)，20=（m-4）2+4，
解得：m=8或0（舍去0）；
②當(dāng)AO=ON時(shí)，同理可得：m=±2 ；
③當(dāng)AN=ON時(shí)，同理可得：m=；
故符合條件的點(diǎn)N坐標(biāo)為：（-2，0）或（2，0）或（8，0）或（，0）．