Question

【題目】在△ABC中，點P是平面內任意一點（不同于A、B、C），若點P與A、B、C中的某兩點的連線的夾角為直角時，則稱點P為△ABC的一個勾股點.

（1）如圖1，若點P是△ABC內一點，∠A=55°，∠ABP=10°，∠ACP=25°，試說明點P是△ABC的一個勾股點；

（2）如圖2，等腰△ABC的頂點都在格點上，點D是BC的中點，點P在直線AD上，請在圖中標出使得點P是△ABC的勾股點時，點P的位置；

（3）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=16，點D是AB的中點，點P在射線CD上.若點P是△ABC的勾股點，請求出CP的長；

Answer 1

【答案】（1）見解析；(2)見解析；(3)7.2或12.8或20．

【解析】

（1）根據三角形內角和定理，證得∠CPB＝90°即可；

（2）根據網格特點以及勾股點的定義進行解答即可；

（3）分情況討論：①∠APC＝90°時．②當∠CPB＝90°時．③當∠APB＝90°時．分別求解即可．

解：（1）在△ABC中，∠A＝55°，

∴∠ACB+∠ABC＝125°．

∵∠ACP＝10°，∠ABP＝25°，

∴∠PCB+∠PBC＝90°．

∴∠CPB＝90°，

∴點P是△ABC的一個勾股點．

（2）如圖，點P1，P2，P3即為所求．

（3）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16．

∴AB＝20，

又∵點D是AB的中點，

∴AD＝BD＝CD＝10，

①∠APC＝90°時，設CP＝x，DP＝10﹣x，

在Rt△APC和Rt△APD中，

∵AC2﹣CP2＝AD2﹣DP2，即：122﹣x2＝102﹣（10﹣x）2，

解得：x＝7.2．

②當∠CPB＝90°時，設CP＝x，DP＝x﹣10，

在Rt△BPD和Rt△BPC中，∵BC2﹣CP2＝BD2﹣DP2，即162﹣x2＝102﹣（x﹣10）2，

解得：x＝12.8．

③當∠APB＝90°時，

在Rt△APB中，DP＝AB＝10，

∴CP＝20

綜上所述，CP的長為7.2或12.8或20．