Question

【題目】如圖，△ABC中，AB＝AC，

(1)請你利用直尺和圓規完成如下操作：

①作△ABC的角平分線AD；

②作邊AB的垂直平分線EF，EF與AD相交于點P；

③連接PB，PC．

請你觀察圖形解答下列問題：

（2）線段PA，PB，PC之間的數量關系是　 　；請說明理由．

（3）若∠ABC＝70°，求∠BPC的度數．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）PA=PB=PC，理由見解析；（3）80°．

【解析】

（1）利用基本作圖作角平分線AD和AB的垂直平分線，它們相交于P點；

（2）根據線段的垂直平分線的性質可得：PA=PB=PC；
（3）根據等腰三角形的性質得：∠ABC=∠ACB=70°，由三角形的內角和得：∠BAC=180°-2×70°=40°，由角平分線定義得：∠BAD=∠CAD=20°，最后利用三角形外角的性質可得結論．

解：（1）如圖，AD、EF 、點P為所作；

（2）PA=PB=PC，理由：
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD是BC的垂直平分線，
∴PB=PC，
∵EP是AB的垂直平分線，
∴PA=PB，
∴PA=PB=PC；
故答案為：PA=PB=PC；
（3）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠BAC=180°-2×70°=40°，
∵AM平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=20°，
∵PA=PB=PC，
∴∠ABP=∠BAP=∠ACP=20°，
∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=20°+40°+20°=80°．