Question

【題目】已知：如圖1，矩形OABC的兩個頂點A，C分別在x軸，y軸上，點B的坐標是（8，2），點P是邊BC上的一個動點，連接AP，以AP為一邊朝點B方向作正方形PADE，連接OP并延長與DE交于點M，設．

（1）請用含a的代數式表示點P，E的坐標．

（2）如圖2，連接OE，并把OE繞點E逆時針方向旋轉90°得EF．若點F恰好落在x軸的正半軸上，求a與的值．

（3）如圖1，若點M為DE的中點，并且，點在OP的延長線上，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）， ；（3）．

【解析】

①根據一線三垂模型構造兩個全等直角三角形，根據對應邊相等，即可用a的代數式表示出E點坐標．

②根據旋轉性質得出是等腰直角三角形，求出a的值和P,D,E三點坐標，再求出PO,DE兩條直線交點，從而求出M點坐標，即可求出EM,DM的長度，求出比值．

③構造相似，用a的代數式表示出M點坐標，再根據三角函數值相等列出等式方程和a的范圍，求出a值，再通過旋轉構造出等腰直角三角形，從而轉化到求兩條線段和的最小值，根據三點共線最短，進而求出兩直線交點，利用兩點間的距離公式即可求出具體值．

解：（1）如圖1中，作于N．

∵，∴，，∵，∴

∵四邊形OABC是矩形，四邊形ADEP是正方形，

∴，，

∴，，

∴，∴，

∴，，∴．

（2）如圖2中，由題意：是等腰直角三角形，∴

∵，∴

∴，，，

∴直線OP的解析式為，直線DE的解析式為

由，解得

∴，∴，

∴

（3）如圖3中，作于K．

由，可得，

∴，，∴

∵，∴，∴

∴，整理得：，解得或6

∵，∴，，，，

如圖4中，將繞點P順時針旋轉90°得到，則是等腰直角三角形．

∴的中點

∵，∴

作，則，∴

∴當E、Q、R共線時，的值最小

∵直線PR的解析式為，∵，∴直線ER的解析式為

由，解得，∴

∴，∴的最小值為