Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別交于點、，動點以每秒2個單位長度的速度從點向終點運動，過點作，交直線于點.設，將繞點順時針旋轉得到線段，連接．設四邊形與的重疊部分面積為（平方單位），，點的運動時間為秒．

（1）求的長；

（2）求證：四邊形是平行四邊形；

（3）求與的函數關系式，并直接寫出自變量取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）．

【解析】

（1）根據直線與坐標的交點求法，直線求出A,B兩點的坐標．

（2）由，得出，再利用旋轉的性質與等量代換，得出，，求得四邊形是平行四邊形．

（3）要對問題分類討論，當時，四邊形在三角形ABO內部時的重疊部分面積；當時，四邊形有部分不在三角形ABO內時重疊部分面積．

（1）∵直線與軸、軸分別交于點、

∴，

∴，

∴

（2）∵∴

由旋轉知，

∴，

∴四邊形是平行四邊形

（3）∵直線與軸、軸分別交于點、

∴，∴

過點作于點

∵∴

∴

∴當時

當時

∵∴

∵∴

∴

∴∴

∴

∵平行四邊形∴

∴

∴

∴

∴

∴

【點晴】

本題主要考查了一次函數與坐標軸的交點，平行四邊形的判定，三角函數，平行四邊形面積的求法以及分類的思想等知識；本題難點是對重疊部分進行分類，以及重疊部分面積的求法．