Question

【題目】數學課上，王老師畫好圖后并出示如下內容：“己知：為的直徑，過的中點，為的切線．”

（1）王老師要求同學們根據己知條件，在不添加線段與標注字母的前提下，寫出三個正確的結論，并選擇其中一個加以證明．

（2）王老師說：如果添加條件“，”，則能求出的直徑．請你寫出求解過程，

Answer 1

【答案】（1）正確的結論可以是：①AB=CB，②∠A=∠C，③DE⊥BC；證明見解析；（2）．

【解析】

（1）三個正確的結論：AB=CB，∠A=∠C，DE⊥BC；連接BD、OD，由圓周角定理得∠ADB=90°，則BD⊥AC，由線段垂直平分線的性質得AB=CB，由等腰三角形的性質得∠A=∠C；證OD為△ABC的中位線，則OD∥BC，由切線的性質得出DE⊥OD，得出DE⊥BC；

(2) 由三角函數定義求出CE=2DE=2，由勾股定理得出CD=，則AD=CD=，由三角函數定義得，則BD=AD=，由勾股定理求出AB即可．

解：（1）三個正確的結論：AB=CB，∠A=∠C，DE⊥BC；選擇結論“”進行證明．

連接BD、OD，如圖：

∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∵D為AC的中點，
∴AB=CB，
∴∠A=∠C；
∵D為AC的中點，O為AB的中點，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD//BC，
∵DE為⊙O的切線，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥BC；

（2）由（1）知，在中，∵，，∴，

由勾股定理得：，∴，

∵，∴，∴，

∴．

∴的直徑為．