Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，點(diǎn)E在邊AD所在的直線(xiàn)上，連接CE，以CE為邊，作正方形CEFG（點(diǎn)C、E、F、G按逆時(shí)針排列），連接BF.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，BF的長(zhǎng)為 ；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AD上時(shí)，若AE=1，求BF的長(zhǎng)；（提示：過(guò)點(diǎn)F作BC的垂線(xiàn)，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N.）

（3）當(dāng)點(diǎn)E在直線(xiàn)AD上時(shí)，若AE=4，請(qǐng)直接寫(xiě)出BF的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）利用勾股定理即可求出.

（2）過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AD交AD于的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，作FM⊥AB于點(diǎn)M，證出，進(jìn)而求得MF，BM的長(zhǎng)，再利用勾股定理，即可求得.

（3）分兩種情況討論，同（2）證得三角形全等，再利用勾股定理即可求得.

（1）由勾股定理得：

（2）過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AD交AD于的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，作FM⊥AB于點(diǎn)M，如圖2所示：

則FM=AH，AM=FH

∵四邊形CEFG是正方形 ∴EC=EF,∠FEC=90° ∴∠DEC+∠FEH=90°，

又∵四邊形是正方形 ∴∠ADC=90° ∴∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ECD=∠FEH

又∵∠EDC=∠FHE=90°，∴ ∴FH=ED EH=CD=3

∵AD=3,AE=1,ED=AD-AE=3-1=2,∴FH=ED=2

∴MF=AH=1+3=4，MB=FH+CD=2+3=5

在Rt△BFM中，BF=

（3）分兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)E在邊AD的左側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥BC交BC的反向延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)N.如圖3所示：

同（2）得：

∴EN=CD=3，FN=ED=7

∵AE=4∴AN=AE-EN=4-3=1

∴MB=AN=1 FM=FN+NM=7+3=10

在中

由勾股定理得：

②當(dāng)點(diǎn)E在邊AD的右側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AD交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N，交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于M，如圖4所示：

同理得：

∴NF=DE=1，EN=CD=3

∴FM=3-1=2，CM=DN=DE+EN=1+3=4

∴BM=CB+CM=3+4=7

在中

由勾股定理得：

故BF的長(zhǎng)為