Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，菱形的對角線經過原點，與交于點軸于點，點D的坐標為反比例函數的圖象恰好經過兩點.

(1)求的值及所在直線的表達式;

(2)求證:.

(3)求的值.

Answer 1

【答案】（1）-2，；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）根據菱形的性質及反比例函數的對稱性可以推出，再根據點D的坐標即可得到點P的坐標，從而得出k的值；根據點P的坐標可以得出直線的表達式，最后根據OP和AC的關系即可得出直線的表達式；

（2）由己等邊對等角即可推出；

（3）由已知可求得點B的坐標，根據勾股定理可求得OB的值，最后根據同角的余弦即可得出答案.

解：（1）∵在菱形中，對角線與互相垂直且平分，

，

經過原點，且反比例函數的圖象恰好經過兩點，

由反比例函數圖象的對稱性知：，

.

點的坐標為，

點的坐標為，

，則；

設直線的表達式為，將點代入得，

∴直線的表達式為，

設直線的表達式為，

于點，

將點及，代入，

得:，

直線的表達式為.

（2）證明：由條件得，，

，

；

（3），

又與關于原點對稱，

在中，，從而.

則.