Question

【題目】如圖：在△ABC中，AB＝5cm，BC＝7cm，S△ABC＝14cm2，點P從點B出發，以3cm∕s的速度沿邊BC向終點C運動，過點P作PQ⊥BC交折線BAC于點Q，D為PQ中點，以DQ為邊向右側作正方形DEFQ．設正方形DEFQ與△ABC重疊部分圖形的面積是y（cm2），點P的運動時間為x（s）．

（1）∠C的度數為　 　；

（2）當點P不與點C重合，且點F落在邊AC上時x的值為　 　．

（3）當點P不與點B，C重合時，求y關于x的函數解析式；

（4）當直線BD平分△ABC的面積時，直接寫出x的值．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）；（3）①0＜x≤時，y＝4x2；②＜x≤1時，y＝；；③1＜x＜時y＝；（4）

【解析】

（1）作AM⊥BC于M，由三角形面積求出AM＝4，由勾股定理得出BM＝＝3，證出AM＝CM，得出△ACM是等腰直角三角形，即可得出答案；

（2）作AM⊥BC于M，則PQ∥AM，得出△BPQ∽△BMA，得出＝＝，求出PQ＝4x，BQ＝5x，得出QD＝PD＝2x，證明△AQF∽△ABC，得出＝，即可得出答案；

（3）分三種情況：①0＜x≤時，由正方形面積即可得出答案；

②＜x≤1時，延長FE交BC于N，則FN＝PQ＝4x，求出HN＝CN＝7﹣3x﹣2x＝7﹣5x，GF＝HF＝9x﹣7，由正方形DEFQ的面積﹣△FGH的面積即可得出答案；

③1＜x＜時，延長FE交BC于N，點E在AC上，則FN＝PQ＝4x，求出QF＝EF＝EN＝CN＝（7﹣3x），由正方形面積即可得出答案；

（4）當直線BD平分△ABC的面積時，延長BD交AC于K，則K為AC的中點，△CPQ是等腰直角三角形，得出CP＝PQ＝7﹣3x，PD＝PQ＝（7﹣3x），作KO⊥BC于O，則KO∥PQ，△OCK是等腰直角三角形，得出CO＝KO＝CK＝2，△BPD∽△BOK，得出BO＝BC﹣CO＝5，＝，即可得出答案．

解：（1）作AM⊥BC于M，如圖1所示：

∵S△ABC＝BC×AM＝×7×AM＝14，

∴AM＝4，

∴BM＝＝＝3，

∴CM＝BC﹣BM＝7﹣3＝4，

∴AM＝CM，

∴△ACM是等腰直角三角形，

∴∠C＝45°；

故答案為：45°；

（2）作AM⊥BC于M，如圖2所示：

則PQ∥AM，

∴△BPQ∽△BMA，

∴＝＝，即＝＝，

解得：PQ＝4x，BQ＝5x，

∵D為PQ中點，

∴QD＝PD＝2x，

∵四邊形DEFQ是正方形，

∴QF＝QD＝2x，QF⊥PQ，

∵PQ⊥BC，

∴QF∥BC，

∴△AQF∽△ABC，

∴＝，即＝，

解得：x＝；

故答案為：；

（3）分三種情況：①0＜x≤時，如圖1所示：

y＝正方形DEFQ的面積＝DQ2＝4x2；

②＜x≤1時，如圖3所示：

延長FE交BC于N，則FN＝PQ＝4x，△CNH、△FGH是等腰直角三角形，

∴HN＝CN＝7﹣3x﹣2x＝7﹣5x，GF＝HF＝4x﹣（7﹣5x）＝9x﹣7，

∴y＝正方形DEFQ的面積﹣△FGH的面積＝（2x）2﹣×（9x﹣7）2＝2+63x﹣，

即y＝；

③1＜x＜時，如圖4所示：

延長FE交BC于N，點E在AC上，則FN＝PQ＝4x，△CPQ、△CNE、△QFE是等腰直角三角形，

∴QF＝EF＝EN＝CN＝（7﹣3x），

∴y＝正方形DEFQ的面積＝ [（7﹣3x）]2＝2﹣x+，即y＝；

（4）當直線BD平分△ABC的面積時，連接BD并延長BD交AC于K，如圖5所示：

則K為AC的中點，△CPQ是等腰直角三角形，

∴CP＝PQ＝7﹣3x，PD＝PQ＝（7﹣3x），

∵AC＝＝4，

∴CK＝AC＝2，

作KO⊥BC于O，

則KO∥PQ，△OCK是等腰直角三角形，

∴CO＝KO＝CK＝2，△BPD∽△BOK，

∴BO＝BC﹣CO＝5，＝，即＝，

解得：x＝．

即當直線BD平分△ABC的面積時，x的值為．