Question

【題目】如圖，是的直徑，點在上，的外角平分線交于，交的延長線于．

（1）求證：是的切線；

（2）若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）連接OD，由OB＝OD，得出∠ODB＝∠OBD，根據BD是△ABC的外角平分線，推出∠ODB＝∠DBE，得到OD∥BE．推出BE⊥DE，根據AB是⊙O的直徑，得到AC⊥CE，根據DE∥AC，即可推出OD⊥DE，從而證得直線DE與⊙O相切．

（2）由∠A＝30°，根據三角形的外角性質求出∠DBE，進而求出∠DOB＝60°，即可得出結論．

解：（1）如圖，連接，

∵，

∴．

∵是的外角平分線，

∴．

∴，

∴．

∵是的直徑，

∴，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴且點在上．

∴直線與相切；

（2）如圖，連接，

∵，

∴，

∵，

∴是等邊三角形．

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．