Question

【題目】如圖，二次函數y=ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C．該拋物線的頂點為M．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）判斷△BCM的形狀，并說明理由．
（3）探究坐標軸上是否存在點P，使得以點P，A，C為頂點的三角形與△BCM相似？若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵函數y=ax2+bx﹣3的圖象經過點A（﹣1，0），B（3，0），

∴ ，解得：

∴二次函數解析式為y=x2﹣2x﹣3

（2）

解：△BCM為直角三角形．

如圖1

，

作MF⊥y軸于F，ME⊥x軸于E

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4

∴頂點M（1，﹣4）．

當x=0時，y=﹣3，

∴C（0，﹣3）．

∴在Rt△CMF中，CM2=CF2+MF2=12+12=2，

在Rt△CBO中，CB2=OC2+OB2=32+32=18，

在Rt△EMB中，BM2=ME2+BE2=42+22=20，

∴CM2+CB2=BM2，

∴∠MCB=90°，

∴△BCM為直角三角形

（3）

解：如圖2

，

在坐標軸上存在點P，使得以點P，A，C為頂點的三角形與△BCM相似．

如圖分三種情形：①若假設點P在x軸上，構成以AC為斜邊的Rt△ACP，由△PAC∽△CMB，得

= ， = ，

∴AP=1．

由A（﹣1，0）與點P在x軸上，可知P與原點重合，即點P的坐標為（0，0）．

②假設點P在x軸上，構成以AC為直角邊的Rt△ACP，由△ACP∽△MCB，

得 = ， = ，

∴PA=10，

∴PO=9，

∴P（9，0）．

③若假設點P在y軸上，構成以 AC 為直角邊的 Rt△ACP，

由△ACP∽△CBM，得

= ， = ，

∴PC= ，

∴PO= ，

∴P（O， ）．

綜上所述，符合條件的點P的坐標為（0，0），（9，0），（O， ）

【解析】（1）根據待定系數法，可得答案；（2）根據勾股定理即勾股定理的逆定里，可得答案；（3）根據相似三角形的性質，可得AP，PC的長，根據點的坐標，可得答案．