Question

【題目】（1）（探究發現）

如圖1，的頂點在正方形兩條對角線的交點處，，將繞點旋轉，旋轉過程中，的兩邊分別與正方形的邊和交于點和點（點與點，不重合）．則之間滿足的數量關系是　 　．

（2）（類比應用）

如圖2，若將（1）中的“正方形”改為“的菱形”，其他條件不變，當時，上述結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請猜想結論并說明理由．

（3）（拓展延伸）

如圖3，，，，平分，，且，點是上一點，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）（2）結論不成立．（3）

【解析】

（1）結論：．根據正方形性質，證，根據全等三角形性質可得結論；（2）結論不成立．．連接，在上截取，連接．根據菱形性質，證，四點共圓，分別證是等邊三角形，是等邊三角形，根據等邊三角形性質證，根據全等三角形性質可得結論；（3）由可知是鈍角三角形，，作于，設．根據勾股定理，可得到，由，得四點共圓，再證是等邊三角形，由（2）可知：，故可得．

（1）如圖1中，結論：．理由如下：

∵四邊形是正方形，

∴，，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴．

故答案為．

（2）如圖2中，結論不成立．．

理由：連接，在上截取，連接．

∵四邊形是菱形，，

∴，

∵，

∴四點共圓，

∴，

∵，

∴是等邊三角形，

∴，，

∵，，

∴是等邊三角形，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴，

（3）如圖3中，由可知是鈍角三角形，，作于，設．

在中，，

∵，

∴，

解得（舍棄）或，

∴，

∵，

∴四點共圓，

∵平分，

∴，

∴，

∵，

∴是等邊三角形，

由（2）可知：，

∴．