Question

【題目】如圖，已知AB為⊙O的直徑，AC為⊙O的切線，連結CO，過B作BD∥OC交⊙O于D，連結AD交OC于G．延長AB、CD交于點E．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若BE＝2，DE＝4，求CD的長；

（3）在（2）的條件下，連結BC交AD于F，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）6；（3）．

【解析】

（1）連接OD，由切線的性質和圓周角定理可得∠CAB=90°=∠ADB，由“SAS”判定△CDO≌△CAO，則∠CDO=∠CAO=90°，然后根據切線的判定定理可得到CD是⊙O的切線；
（2）設⊙O半徑為r，則OD=OB=r，在Rt△ODE中利用勾股定理得到r2+42=（r+2）2，解得r=3，即OB=3，然后根據平行線分線段成比例定理，由DB∥OC得到DE：CD=BE：OB，于是可計算出CD=6；
（3）由△CDO≌△CAO得到AC=CD=6，在Rt△AOC中利用勾股定理計算出OC=3，再證明Rt△OAG∽△OCA，利用相似比計算出OG= ，則CG=OC-OG=，易得BD=2OG= ，然后利用CG∥BD得到 ．

證明：（1）如圖，連接OD，

∵AC為⊙O的切線，AB為⊙O的直徑，
∴∠CAB=90°=∠ADB，
∵OD=OB，
∴∠DBO=∠BDO，
∵CO∥BD，
∴∠AOC=∠OBD，∠COD=∠ODB，
∴∠AOC=∠COD，且AO=OD，CO=CO，
∴△AOC≌△DOC（SAS）
∴∠CAO=∠CDO=90°，
∴OD⊥CD，且OD是半徑，
∴CD是⊙O的切線；
（2）設⊙O半徑為r，則OD=OB=r，
在Rt△ODE中，∵OD2+DE2=OE2，
∴r2+42=（r+2）2，解得r=3，
∴OB=3，
∵DB∥OC，
∴
即
∴CD=6；
（3）由（1）得△CDO≌△CAO，
∴AC=CD=6，
在Rt△AOC中，OC=，
∵∠AOG=∠COA，
∴△OAG∽△OCA，
∴，
即 ，
∴OG=，
∴CG=OC-OG=3-=，
∵OG∥BD，OA=OB，
∴OG為△ABD的中位線，
∴BD=2OG=，
∵CG∥BD，
∴
∴．