Question

【題目】如圖（1）四邊形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，DA⊥AB，點E在CD的延長線上，∠BAC＝∠DAE．

（1）求證：△ABC≌△ADE；

（2）求證：CA平分∠BCD；

（3）如圖（2），設AF是△ABC的BC邊上的高，求證：EC＝2AF．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

（1）根據全等三角形的判定定理ASA即可證得．

（2）通過三角形全等求得AC＝AE，∠BCA＝∠E，進而根據等邊對等角求得∠ACD＝∠E，從而求得∠BCA＝∠E＝∠ACD即可證得．

（3）過點A作AM⊥CE，垂足為M，根據角的平分線的性質求得AF＝AM，然后證得△CAE和△ACM是等腰直角三角形，進而證得EC＝2AF．

（1）證明：∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADE+∠ADC＝180°，

∴∠ABC＝∠ADE，

在△ABC與△ADE中，

，

∴△ABC≌△ADE（ASA）．

（2）證明：∵△ABC≌△ADE，

∴AC＝AE，∠BCA＝∠E，

∴∠ACD＝∠E，

∴∠BCA＝∠E＝∠ACD，即CA平分∠BCD；

（3）證明：如圖②，過點A作AM⊥CE，垂足為M，

∵AM⊥CD，AF⊥CF，∠BCA＝∠ACD，

∴AF＝AM，

又∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝∠CAD+∠BAC＝∠BAD＝90°，

∵AC＝AE，∠CAE＝90°，

∴∠ACE＝∠AEC＝45°，

∵AM⊥CE，

∴∠ACE＝∠CAM＝∠MAE＝∠E＝45°，

∴CM＝AM＝ME，

又∵AF＝AM，

∴EC＝2AF．