Question

【題目】如圖，中，其中；

（1）求線段的長（用和的代數式表示）；

（2）如圖1，若，點在上，點在上，點到和BC的距離相等，，連接，求的長；

（3）如圖2，若為的中點，，點分別在線段上，且，連接，和，求EF的值；

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據勾股定理計算即可；

（2）過F作FM⊥AC于M，FN⊥BC于N，證明四邊形FNCM為正方形，利用FN∥AC，得到，解出正方形的邊長，運用勾股定理可求出DF的長；

（3）過F作FG⊥AC于點G，根據已知條件證明△ECD≌△DGF，得到條件證明△EDF為等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的性質可求得結果.

解：（1）根據勾股定理，∵BC=a，AC=b，∠ACB=90°，

∴AB=；

（2）由題意可得：BC=6，AC=8，

∴AB=，

過F作FM⊥AC于M，FN⊥BC于N，

∵F到AC和BC距離相等，

可得四邊形FNCM為正方形，

設CM=CN=FN=FM=x，

∵FN⊥BC，AC⊥BC，

∴FN∥AC，

∴，即，

解得：x=，

∴AM=8-x=，

∵AF=AD，

∴AF==AD，

∴DM=AD-AM=，

∴DF=；

（3）由題意可得：BC=6，AC=8，

∴AB=，

∵F為AB中點，

∴AF=BF=5，

過F作FG⊥AC于點G，

∴FG=BC=3，

∴AG=，

∵BE=BF，AF=AD，

∴BE=5，CE=1，AD=5，CD=3，DG=AD-AG=1，

在△ECD和△DGF中，

，

∴△ECD≌△DGF（SAS），

∴ED=FD，∠EDC=∠DFG，

∵∠DFG+∠FDG=90°，

∴∠EDC+∠FDG=90°，

∴∠EDF=90°，

∴△EDF為等腰直角三角形，

∵EC=1，CD=3，

∴ED==FD，

∴EF=.