Question

【題目】如圖①，已知拋物線y＝﹣x2+x+2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，拋物線的頂點為Q，連接BC．

（1）求直線BC的解析式；

（2）點P是直線BC上方拋物線上的一點，過點P作PD⊥BC于點D，在直線BC上有一動點M，當線段PD最大時，求PM+MB最小值；

（3）如圖②，直線AQ交y軸于G，取線段BC的中點K，連接OK，將△GOK沿直線AQ平移得△G′O'K′，將拋物線y＝﹣x2+x+2沿直線AQ平移，記平移后的拋物線為y′，當拋物線y′經過點Q時，記頂點為Q′，是否存在以G'、K'、Q'為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點G′的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣．（2）；（3）點G′坐標為（）或（3，5）或（5，）或（4，）或（，）．

【解析】

（1）利用待定系數法求出B，C兩點坐標即可解決問題．

（2）因為∠DPM是定值，推出當PM的值最大時，PD的值最大，構建二次函數求出PD最大時，點P坐標，在y軸上取一點G，使得sin∠GBC＝，作GK⊥BC于K，因為PM+BM＝PM+ME，把問題轉化為：當P．M，E共線，且PE⊥BG時，PM+PE的值最小，由此求出點E坐標即可解決問題．

（3）分三種情形構建方程即可解決問題．

解：（1）令y＝0，﹣ x2+x+2＝0，解得x＝﹣1和4，

∴A（﹣1，0），B（4，0），

令x＝0，y＝2，

∴C（0，2），

設直線BC是解析式為y＝kx+b，則有，解得，

∴直線BC的解析式為y＝﹣x+2．

（2）如圖1中，作PM∥y軸交BC于M．

∵∠DPM是定值，

∴當PM的值最大時，PD的值最大，設P（m，﹣ m2+m+2），則M（m，﹣m+2），

∴PM＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2）2+2，

∵﹣＜0，

∴m＝2時，PM的值有最大值，即PD的值最大，此時P（2，3）．

在y軸上取一點G，使得sin∠GBC＝，作GK⊥BC于K，

∵sin∠GBK＝＝，設GK＝k，BG＝3k，則BK＝2k，

∵∠GCK＝∠BCO，∠GKC＝∠BOC＝90°，

∴△CKG∽△COB，

∴，

∴，

∴CK＝k，CG＝k，

∵CK+BK＝BC，

∴k+2k＝2，

∴k＝，

∴OG＝OC﹣CG＝，

∴G（0，），

∴直線BG的解析式為y＝﹣x+，

∵PM+BM＝PM+ME，

∴當P．M，E共線，且PE⊥BG時，PM+PE的值最小，

∵PE⊥BG，

∴直線PE的解析式為y＝y＝x﹣2，

由，解得，

∴E（），

∴PE＝，

∴PM+BM的最小值為．

（3）如圖3中，存在．

由題意A（﹣1，0），Q（，），Q′（4，），C（0，2），K（2, ），

∴直線AQ的解析式為y＝x+，

∴G（0，），

設G′（a， a+），則K′（a+2， a+），

當Q′G′＝Q′K′時，（a﹣4）2+（a﹣5）2＝（a﹣2）2+（a﹣）2，

解得a＝．

此時G（）.

當Q′G′＝G′K′時，（a﹣4）2+（a﹣5）2＝22+（）2，

整理得：a2﹣8a+15＝0，

解得a＝3和5，

此時G′（（3，5）或（5，），

當Q′K′＝G′K′時，（a﹣2）2+（a﹣）2＝22+（）2，

整理得：3a2﹣8a+15＝0，

解得a＝4和，

此時G′（4，）或（，），

綜上所述，滿足條件的點G′坐標為（）或（3，5）或（5，）或（4，）或（，）．