3.在經濟學中，函數f(x)的邊際函數Mf(x)定義為Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生產100臺報警系統裝置，生產x(x>0)臺的收入函數為R(x)=3 000x-20x2 (單位：元)，其成本函數為C(x)=500x+4 000(單位：元)，利潤是收入與成本之差.
(1)求利潤函數P(x)及邊際利潤函數MP(x)；
(2)利潤函數P(x)與邊際利潤函數MP(x)是否具有相同的最大值？
解 (1)P(x)=R(x)-C(x)=(3 000x-20x2)-(500x+4 000)=-20x2+2 500x-4 000(x∈［1，100］且x∈N)
MP(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)2+2 500(x+1)-4 000-(-20x2+2 500x-4 000)
=2 480-40x (x∈［1，100］且x∈N).
(2)P(x)=-20(x-
2+74 125，當x=62或63時，P(x)max=74 120(元).
因為MP(x)=2 480-40x是減函數，所以當x=1時，MP(x)max=2 440(元).
因此，利潤函數P(x)與邊際利潤函數MP(x)不具有相同的最大值.
2.求函數y=
(4x-x2)的單調區間.
解 由4x-x2>0，得函數的定義域是(0，4).令t=4x-x2，則y=t.
∵t=4x-x2=-(x-2)2+4，∴t=4x-x2的單調減區間是［2，4)，增區間是(0，2］.
又y=t在(0，+∞)上是減函數，∴函數y=(4x-x2)的單調減區間是(0，2］，單調增區間是［2，4).
1.討論函數f(x)=x+
(a>0)的單調性.
解 方法一 顯然f(x)為奇函數，所以先討論函數f(x)在(0，+∞)上的單調性，設x1>x2>0,則
f(x1)-f(x2)
=(x1+
)-(x2+
)=(x1-x2)·(1-
).
∴當0<x2<x1≤
時，>1,
則f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2),故f(x)在(0，］上是減函數.
當x1>x2≥時，0<<1，則f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
故f(x)在［，+∞)上是增函數.∵f(x)是奇函數，
∴f(x)分別在(-∞，-］、［，+∞)上為增函數；
f(x)分別在［-，0)、(0，］上為減函數.
方法二 由
=1-
=0可得x=±
當x>時或x<-時，>0,∴f(x)分別在(，+∞)、(-∞，-］上是增函數.
同理0<x<或-<x<0時，<0
即f(x)分別在(0，］、［-，0)上是減函數.
5.(2009·文登月考)若函數f(x) =
的值域為
，則實數a的取值范圍是
.
答案?
例1已知函數f(x)=ax+
(a>1).
證明：函數f(x)在(-1,+∞)上為增函數.
證明 方法一 任取x1,x2∈(-1,+∞),
不妨設x1<x2,則x2-x1>0,
>1且
>0,
∴a
，又∵x1+1>0,x2+1>0,
∴
>0,
于是f(x2)-f(x1)=a
+
>0,
故函數f(x)在(-1,+∞)上為增函數.
方法二 f(x)=ax+1-
(a>1),
求導數得=axlna+
,
∵a>1,∴當x>-1時，axlna>0,>0,
>0在(-1，+∞)上恒成立，則f(x)在(-1,+∞)上為增函數.
方法三 ∵a>1,∴y=ax為增函數，
又y=
，在(-1，+∞)上也是增函數.
∴y=ax+在(-1，+∞)上為增函數.
例2判斷函數f(x)=
在定義域上的單調性.
解 函數的定義域為{x|x≤-1或x≥1},
則f(x)= ,
可分解成兩個簡單函數.
f(x)=
=x2-1的形式.當x≥1時，u(x)為增函數，
為增函數.
∴f(x)=在［1，+∞)上為增函數.當x≤-1時，u(x)為減函數，為減函數，
∴f(x)=在(-∞,-1］上為減函數.
例3 求下列函數的最值與值域：
(1)y=4-
;(2)y=2x-
;
(3)y=x+
;(4)y=
.
解 (1)由3+2x-x2≥0得函數定義域為［-1，3］，又t=3+2x-x2=4-(x-1)2.
∴t∈［0，4］，
∈［0，2］，從而，當x=1時，ymin=2.當x=-1或x=3時，ymax=4.故值域為［2，4］.
(2) 方法一 令=t(t≥0),則x=
.∴y=1-t2-t=-(t+
2+
.
∵二次函數對稱軸為t=-
,∴在［0，+∞)上y=-(t+2+是減函數，
故ymax=-(0+2+=1.故函數有最大值1，無最小值，其值域為(-∞，1］.
方法二 ∵y=2x與y=-均為定義域上的增函數，∴y=2x-是定義域為{x|x≤}上的增函數，
故ymax=2×
=1,無最小值.故函數的值域為(-∞,1］.
(3)方法一 函數y=x+是定義域為{x|x≠0}上的奇函數,故其圖象關于原點對稱,故只討論x>0時,即可知x<0時的最值.
∴當x>0時,y=x+≥2
=4，等號當且僅當x=2時取得.當x<0時，y≤-4,等號當且僅當x=-2時取得.
綜上函數的值域為(-∞，-4］∪［4，+∞)，無最值.
方法二 任取x1,x2,且x1<x2,
因為f(x1)-f(x2)=x1+
-(x2+
)=
所以當x≤-2或x≥2時，f(x)遞增,當-2<x<0或0<x<2時，f(x)遞減.
故x=-2時，f(x)最大值=f(-2)=-4,x=2時，f(x)最小值=f(2)=4,
所以所求函數的值域為(-∞，-4］∪［4，+∞)，無最大(小)值.
(4)將函數式變形為
y=
,
可視為動點M(x,0)與定點A(0，1)、B(2，-2)距離之和，連結AB，則直線AB與x軸的交點(橫坐標)即為所求的最小值點.
ymin=|AB|=
，可求得x=
時，ymin=
.
顯然無最大值.故值域為［，+∞).
例4 (12分)函數f(x)對任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且當x>0時，f(x)>1.
(1)求證：f(x)是R上的增函數；
(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
解 (1)設x1,x2∈R，且x1<x2,
則x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1. 2分
f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)
=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0. 5分
∴f(x2)>f(x1).
即f(x)是R上的增函數. 6分
(2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5，
∴f(2)=3， 8分
∴原不等式可化為f(3m2-m-2)<f(2),
∵f(x)是R上的增函數，∴3m2-m-2<2, 10分
解得-1<m<
,故解集為(-1,).
12分
4.函數f(x)=x3+ax2+bx+c，其中a、b、c∈R，則a2-3b＜0時，f(x)是 ( ) A.增函數 B.減函數
?C.常數函數? D.單調性不確定的函數
答案?A?
3.若函數f(x)=x2+(a2-4a+1)x+2在區間(-∞，1］上是減函數，則a的取值范圍是 ( )
?A.［-3，-1］ ?B.(-∞，-3］∪［-1，+∞)
?C.［1，3］ ?D.(-∞，1］∪［3，+∞)
答案 ?C?
2.(2008·保定聯考)已知f(x)是R上的增函數，若令F(x)=f(1-x)-f(1+x)，則F(x)是R上的 ( )
? A.增函數 ?B.減函數
? C.先減后增的函數 ?D.先增后減的函數
答案?B
1.已知函數y=f(x)是定義在R上的增函數，則f(x)=0的根 ( )
?A.有且只有一個 B.有2個
?C.至多有一個 D.以上均不對
答案?C?
12.某租賃公司擁有汽車100輛.當每輛車的月租金為3 000元時，可全部租出.當每輛車的月租金每增加50元時,未租出的車將會增加一輛.租出的車每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元.
(1)當每輛車的月租金定為3 600元時，能租出多少輛車？
(2)當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解 (1)當每輛車的月租金定為3 600元時，未租出的車輛數為
=12，所以這時租出了88輛車.
(2)設每輛車的月租金定為x元，則租賃公司的月收益為f(x)=(100-
×50.
整理得f(x)=-
+162x-21
000=-
(x-4 050)2+307
050.
所以，當x=4 050時，f(x)最大，最大值為f(4 050)=307 050.
即當每輛車的月租金定為4 050元時，租賃公司的月收益最大，最大月收益為307 050元.
§2.2 函數的單調性與最大(小)值
基礎自測
11.如圖所示，有一塊半徑為R的半圓形鋼板，計劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是⊙O的直徑,且上底CD的端點在
圓周上，寫出梯形周長y關于腰長x的函數關系式，并求出它的定義域.
解 AB=2R，C、D在⊙O的半圓周上，
設腰長AD=BC=x，作DE⊥AB，
垂足為E，連接BD，
那么∠ADB是直角，
由此Rt△ADE∽Rt△ABD.
∴AD2=AE×AB，即AE=
，∴CD=AB-2AE=2R-
，
所以y=2R+2x+(2R-), 即y=-+2x+4R.
再由
,解得0<x<
R. 所以y=-+2x+4R,定義域為(0，R).
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