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在數學學習過程中，通常是利用已有的知識與經驗，通過對研究對象進行觀察、實驗、推理、抽象概括，發現數學規律，揭示研究對象的本質特征．
比如“同底數冪的乘法法則”的學習過程是利用有理數的乘方概念和乘法結合律，由“特殊”到“一般”進行抽象概括的：2²×2³=2⁵，2³×2⁴=2⁷，2²×2⁶=2⁸，…?2^m×2ⁿ=2^m+n，…?a^m×aⁿ=a^m+n（m、n都是正整數）．
探索問題：
（1）比較下列各組數據的大小：
①

2

3

2+1

3+1

，②

2

3

2+2

3+2

，③

2

3

2+3

3+3

，④

2

3

2+4

3+4

，…．
（2）請你根據上面的材料歸納出a、b、c（a＞b＞0，c＞0）之間的一個數學關系式；并用已學的數學知識說明你發現結論的正確性．
（3）試用（2）中你歸納的數學關系式，解釋下面生活中的一個現象：“若m克糖水里含有n克糖，再加入k克糖（仍不飽和），則糖水更甜了”．

在數學學習過程中，通常是利用已有的知識與經驗，通過對研究對象進行觀察、實驗、推理、抽象概括，發現數學規律，揭示研究對象的本質特征．
比如“同底數冪的乘法法則”的學習過程是利用有理數的乘方概念和乘法結合律，由“特殊”到“一般”進行抽象概括的：2²×2³=2⁵，2³×2⁴=2⁷，2²×2⁶=2⁸…?2^m×2ⁿ=2^m+n…?a^m×aⁿ=a^m+n（m、n都是正整數）．
我們亦知：

2

3

＜

2+1

3+1

，

2

3

＜

2+2

3+2

，

2

3

＜

2+3

3+3

，

2

3

＜

2+4

3+4

…
（1）請你根據上面的材料歸納出a、b、c（a＞b＞0，c＞0）之間的一個數學關系式．
（2）試用（1）中你歸納的數學關系式，解釋下面生活中的一個現象：“若m克糖水里含有n克糖，再加入k克糖（仍不飽和），則糖水更甜了”．

25、（1）寫一個多項式，再把它分解因式（要求：多項式含有字母m和n，系數、次數不限，并能先用提取公因式法再用公式法分解）．
（2）閱讀下列分解因式的過程，再回答所提出的問題：
1+x+x（x+1）+x（x+1）²=（1+x）[1+x+x（x+1）]①
=（1+x）²（1+x）②
=（1+x）³③
①上述分解因式的方法是，由②到③這一步的根據是；
②若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）²⁰⁰⁶，結果是；
③分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）ⁿ（n為正整數）．

在數學里，我們規定：a^-n=

1

an

 （a≠O）．無論從仿照同底數冪的除法公式來分析，還是仿照分式的約分來分析，這種規定都是合理的．正是有了這種規定，指數的范圍由非負數擴大到全體整數，概念的擴充與完善使我們解決問題的路更寬了．例如a²•a^-3=a^2+（-3）=a^-1=

1

a

．數的發展經歷了漫長的過程，其實人們早就發現了非實數的數．人們規定：i²=-1，這里數i類似于實數單位1，它的運算法則與實數運算法則完全類似：2i+

1

3

i=

7

3

i（注意：由于非實數與實數單位不同，因此像2+i之類的運算便無法繼續進行，2+i就是一個非實數的數），6•0.5i=3i； 2i•3i=6i²=-6；（3i）²=-9；-4的平方根為±2i；如果x²=-7，那么x=±

7

i．…數的不斷發展進一步證實，這種規定是合理的．
（1）想一想，作這樣的規定有什么好處？
（2）試用配方法求一元二次方程x²+x+1=0的非實數解：
（3）你認為，在學習中，當面臨一個新的挑戰時，我們應如何面對？