Question

在數學學習過程中，通常是利用已有的知識與經驗，通過對研究對象進行觀察、實驗、推理、抽象概括，發現數學規律，揭示研究對象的本質特征．
比如“同底數冪的乘法法則”的學習過程是利用有理數的乘方概念和乘法結合律，由“特殊”到“一般”進行抽象概括的：
2²×2³=2⁵，2³×2⁴=2⁷，2²×2⁶=2⁸，…?2^m×2ⁿ=2^m+n，…?a^m×aⁿ=a^m+n（m、n都是正整數）．我們亦知：

2

3

＜

2+1

3+1

，

2

3

＜

2+2

3+2

，

2

3

＜

2+3

3+3

，

2

3

＜

2+4

3+4

，…
（1）請你根據上面的材料歸納出a、b、c（a＞b＞0，c＞0）之間的一個數學關系式；
（2）試用（1）中你歸納的數學關系式，解釋下面生活中的一個現象：“若m克糖水里含有n克糖，再加入k克糖（仍不飽和），則糖水更甜了”；
（3）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=a，CA=b，AD=BE=c（a＞b），能否根據這個圖形提煉出與（1）中相同的關系式并給予證明．

Answer 1

分析：（1）根據已知不等式可找出規律，因為3＞2＞0，1＞0，2＞0，3＞0，

2

3

＜

2+1

3+1

；

2

3

＜

2+2

3+2

…故a＞b＞0，c＞0，則

b

a

＜

b+c

a+c

；
（2）因為

n

m

＜

n+k

m+k

，說明原來糖水中糖的質量分數

n

m

小于加入k克糖后糖水中糖的
質量分數

n+k

m+k

，所以糖水更甜了．
（3）利用三角函數值的定義，相似三角形的相似比及三角形的中位線定理，列出不等式，再利用三角函數值的定義找出a，b，c的關系式．

解答：解：（1）a，b，c的數學關系式是

b

a

＜

b+c

a+c

；

（2）因為

n

m

＜

n+k

m+k

，說明原來糖水中糖的質量分數

n

m

小于加入k克糖后糖水中糖的質量分數

n+k

m+k

，所以糖水更甜了．

（3）證法一：
在Rt△ABC和Rt△DEC中，tan∠ABC=

b

a

，tan∠DEC=

b+c

a+c

．
過A點作AF∥CE，交ED于F點，則△DAF∽△DCE．
∴

DC

EC

=

DA

FA

∵DC=DA+AC＜EB+BC=EC，
∴DA＜AF
而DA=EB，
∴AF＞EB．
如圖，過A點作AG∥ED，則AG必與EB的延長線交于G點，
∴∠DEC=∠AGC＞∠ABC
∴tan∠DEC＞tan∠ABC
∴

b+c

a+c

＞

b

a

證法二：同證法一，知AF＞AD=BE，且AF∥BE，故AB與FE的延長線的交點G必在BE的下方（如圖）．
∴∠DEC＞∠EBG=∠ABC．
∴tan∠DEC＞tan∠ABC．
∴

b+c

a+c

＞

b

a

．

點評：此題的關鍵是找出規律，結合不等式的基本性質，特殊角的三角函數值的定義及三角形的相關性質解答，綜合性比較強，屬中等難度題目．