Question

在數學學習過程中，通常是利用已有的知識與經驗，通過對研究對象進行觀察、實驗、推理、抽象概括，發現數學規律，揭示研究對象的本質特征．
比如“同底數冪的乘法法則”的學習過程是利用有理數的乘方概念和乘法結合律，由“特殊”到“一般”進行抽象概括的：2²×2³=2⁵，2³×2⁴=2⁷，2²×2⁶=2⁸，…?2^m×2ⁿ=2^m+n，…?a^m×aⁿ=a^m+n（m、n都是正整數）．
探索問題：
（1）比較下列各組數據的大小：
①

2

3

＜

2+1

3+1

，②

2

3

＜

2+2

3+2

，③

2

3

＜

2+3

3+3

，④

2

3

＜

2+4

3+4

，…．
（2）請你根據上面的材料歸納出a、b、c（a＞b＞0，c＞0）之間的一個數學關系式；并用已學的數學知識說明你發現結論的正確性．
（3）試用（2）中你歸納的數學關系式，解釋下面生活中的一個現象：“若m克糖水里含有n克糖，再加入k克糖（仍不飽和），則糖水更甜了”．

Answer 1

分析：（1）分別進行計算即可判斷出大小；
（2）根據分式的定義以及（1）的計算規律寫出即可；
（3）根據糖水的濃度列出分式，然后再進行計算作出判斷．

解答：解：（1）比較下列各組數據的大小：
∵

2+1

3+1

=

3

4

，

2+2

3+2

=

4

5

，

2+3

3+3

=

5

6

，

2+4

3+4

=

6

7

，
∴①

2

3

＜

2+1

3+1

，②

2

3

＜

2+2

3+2

，③

2

3

＜

2+3

3+3

，④

2

3

＜

2+4

3+4

；

（2）你根據上面的材料可得：

b

a

＜

b+c

a+c

．
說明：∵

b

a

-

b+c

a+c

=

b(a+c)

a(a+c)

-

a(b+c)

a(a+c)

=

ab+bc-ab-ac

a(a+c)

=

bc-ac

a(a+c)

=

c(b-a)

a(a+c)

，
又∵a＞b＞0，c＞0，
∴a+c＞0，b-a＜0，
∴

c(b-a)

a(a+c)

＜0，
∴

b

a

-

b+c

a+c

＜0，
即：

b

a

＜

b+c

a+c

成立；

（3）∵原來糖水中糖的質量分數=

n

m

，
加入k克糖后糖水中糖的質量分數+

n+k

m+k

，
由（2）

b

a

＜

b+c

a+c

可得

n

m

＜

n+k

m+k

，
所以糖水更甜了．

點評：本題考查了分式的混合運算，讀懂題目信息，熟練掌握并靈活運用整式的加減混合運算進行計算是解題的關鍵，也是本題的難點．