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如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（經過原點）與x軸相交于N點，直線y=kx+4與坐標軸分別相交于A、D兩點，與拋物線相交于B（1，m）和C（2，2）兩點．
（1）求直線與拋物線的表達式；
（2）求證：C點是△AOD的外心；
（3）若（1）中的拋物線，在x軸上方的部分，有一動點P（x，y），設∠PON=α．當sinα為何值時，△PON的面積有最大值？
（4）若P點保持（3）中運動路線，是否存在△PON，使得其面積等于△OCN面積的

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？若存在，求出動點P的位置；若不存在，請說出理由．

如圖，已知經過原點的拋物線y=-2x²+4x與x軸的另一交點為A，現將它向右平移m（m＞0）個單位，所得拋物線與x軸交于C、D兩點，與原拋物線交于點P．
（1）求點A的坐標，并判斷△PCA存在時它的形狀（不要求說理）；
（2）在x軸上是否存在兩條相等的線段？若存在，請一一找出，并寫出它們的長度（可用含m的式子表示）；若不存在，請說明理由；
（3）設△CDP的面積為S，求S關于m的關系式．

如圖，已知與x軸交于點A（1，0）和B（5，0）的拋物線l₁的頂點為C（3，4），拋物線l₂與l₁關于x軸對稱，頂點為C′．
（1）求拋物線l₂的函數關系式；
（2）已知原點O，定D（0，4），l₂上的點P與l₁上的P′始終關于x軸對稱，則當點P運動到何處時，以點D、O、P、P′為頂點的四邊形是平行四邊形？
（3）設l₂上的點M、N分別與l₁上的點M′、N′始終關于x軸對稱．是否存在點M、N（M在N的左側），使四邊形MNN?M?是正方形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．