Question

如圖，已知經過原點的拋物線y=-2x²+4x與x軸的另一交點為A，現將它向右平移m（m＞0）個單位，所得拋物線與x軸交于C、D兩點，與原拋物線交于點P．
（1）求點A的坐標，并判斷△PCA存在時它的形狀（不要求說理）；
（2）在x軸上是否存在兩條相等的線段？若存在，請一一找出，并寫出它們的長度（可用含m的式子表示）；若不存在，請說明理由；
（3）設△CDP的面積為S，求S關于m的關系式．

Answer 1

分析：（1）令原拋物線的解析式中y=0，即可求得A點的坐標；
很顯然P點位于線段AC的垂直平分線上，由此可判定△PAC是等腰三角形；
（2）根據平移的性質知：AO=CD=2，OC=AD=m；
（3）求△CDP的面積需要知道兩個條件：底邊CD及CD邊上的高PH（過P作PH⊥x軸于H）；
因此本題要分兩種情況討論：①0＜m＜2時，P點在x軸上方；②m＞2時，P點位于x軸下方；
可分別表示出兩種情況的CH的長即P點橫坐標，根據拋物線的解析式即可得到P點的縱坐標；以CD為底，P點縱坐標的絕對值為高即可得到關于S、m的函數關系式．

解答：解：（1）令-2x²+4x=0，
得x₁=0，x₂=2
∴點A的坐標為（2，0）
△PCA是等腰三角形．

（2）存在．
OC=AD=m，OA=CD=2．

（3）如圖，當0＜m＜2時，作PH⊥x軸于H，
設P（x_P，y_P）
∵A（2，0），C（m，0）
∴AC=2-m，
∴CH=

AC

2

=

2-m

2

∴x_P=OH=m+

2-m

2

=

m+2

2

把x_P=

m+2

2

代入y=-2x²+4x，
得y_P=-

1

2

m²+2
∵CD=OA=2
∴S=

1

2

CD•HP=

1

2

•2•（-

1

2

m²+2）=-

1

2

m²+2
如圖，當m＞2時，作PH⊥x軸于H，
設P（x_P，y_P）
∵A（2，0），C（m，0）
∴AC=m-2，
∴AH=

m-2

2

∴x_P=OH=2+

m-2

2

=

m+2

2

把x_P=

m+2

2

代入y=-2x²+4x，得
y_P=-

1

2

m²+2
∵CD=OA=2
∴S=

1

2

CD•HP=

1

2

•2•(-yP)=

1

2

m²-2．
綜上可得：S=

- 1 2 m2+2(0＜m＜2) 1 2 m2-2(m＞2)

．

點評：此題考查了二次函數圖象與坐標軸交點坐標的求法、平移的性質以及三角形面積的求法等知識，需注意的是（3）題要根據m的取值范圍分段討論，以免造成漏解、錯解．